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第一章数据结构与算法
1.1算法
算法:是指解题方案的准确而完整的描述。
算法不等于程序,也不等于计算机方法,程序的编制不可能优于算法的设计。
算法的基本特征:是一组严谨地定义运算顺序的规则,每一个规则都是有效的,是明确的,此顺序将在有限的次数下终止。
特征包括:
(1)可行性;
(2)确定性,算法中每一步骤都必须有明确定义,不允许有模棱两可的解释,不允许有多义性;
(3)有穷性,算法必须能在有限的时间内做完,取能在执行有限个步骤后终止,包括合理的执行时间的含义;
(4)拥有足够的情报。
算法的基本要素:一是对数据对象的运算和操作;二是算法的控制结构。
指令系统:一个计算机系统能执行的所有指令的集合。
基本运算和操作包括:算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。
算法的控制结构:列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。
算法复杂度:算法时间复杂和算法空间复杂度。
算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。
算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。
1.2数据结构的基本概念
数据结构研究的三个方面:
(1)数据集合中和数元素之间所固有的逻辑关系,即数据的逻辑结构;
(2)在对数据进行处理时,各数据元素在计算机中的存储关系,即数据的存储结构;
(3)对各种数据结构进行的运算。
数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。
数据的逻辑结构包含:
(1)表示数据元素的信息;
(2)表示各数据元素之间的前后件关系。
数据的存储结构有顺序、链接、索引等。
线性结构条件:
(1)有且只有一个根结点;
(2)每一个结点最多有一个前件,也最多有一个后件。
非线性结构:不满足线性结构条件的数据结构。
1.3线性表及其顺序存储结构
线性表由一组数据元素构成,数据元素的位置只取决于自己的序号,元素之间的相对位置是线性的。在复杂线性表中,由若干数据元素组成的数据元素称为记录,而由多个记录构成的线性表又称为文件。
非空线性表的结构特征:
(1)且只有一个根结点a ,它无前件;
(2)有且只有一个终端点a ,它无后件;
(3)除根结点与终端结点外,其他所有结点有且只有一个前件,也有且只有一个后件。结点个数n称为线性表的长度,当n=0时,称为空表。
线性表的顺序储结构具有以下两个基本特点:
(1)线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的;
(2)线性表中各数元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。a 的存储地址为:ADR(a )=ADR(a )+(i-1)k,ADR(a )为第一个元素的地址,k代表每个元素占的字节数。
顺序表的运算:插入、删除。
1.4栈和队列
栈是限定在一端进行插入与删除的线性表,允许插入与删除的一端称为栈顶,不允许插入与删除的另一端称为栈底。栈按照“先进后出”(FILO)或“后进先出”(LIFO)组织数据,栈具有记忆作用。用top表示栈顶位置,用bottom表示栈底。
栈的基本运算:(1)插入元素称为入栈运算;(2)删除元素称为退栈运算;(3)读栈顶元素是将栈顶元素给一个指定的变量,此时指针无变化。
队列是指允许在一端(队尾)进入插入,而在另一端(队头)进行删除的线性表。Rear指针指向队尾,front指针指向队头。
队列是“先进先出”(FIFO)或“后进后出”(LILO)的线性表。
队列运算包括(1)入队运算:从队尾插入一个元素;(2)退队运算:从队头删除一个元素。
1.5线性链表
数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元,这种存储单元称为存储结点,简称结点。
结点由两部分组成:(1)用于存储据元素值,称为数据域;(2)用于存放指针,称为指针域,用于指向前一个或后一个结点。
在链式存储结构中,存储数据结构的存储空间可以不连续,各数据结点的存储顺序与数据元素之间的逻辑关系可以不一致,而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。链式存储方式即可用于表示线性结构,也可用于表示非线性结构。
线性链表,HEAD称为头指针,HEAD=NULL(或0)称为空表,如果是两指针:左指针(Llink)指向前件结点,右指针(Rlink)指向后件结点。
线性链表的基本运算:查找、插入、删除。
1.6树与二叉树
树是一种简单的非线性结构,所有元素之间具有明显的层次特性。在树结构中,每一个结点只有一个前件,称为父结点,没有前件的结点只有一个,称为树的根结点,简称树的根。每一个结点可以有多个后件,称为该结点的子结点。没有后件的结点称为叶子结点。
在树结构中,一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度,所有结点中最大的度称为树的度。树的最大层次称为树的深度。
二树的基本性质:
(1)在二叉树的第k层上,最多有2 (k 1)个结点;
(2)深度为m的二叉树最多有2 -1个结点;
(3)度为0的结点(即叶子结点)总是比度为2的结点多一个;
(4)具有n个结点的二叉树,其深度至少为[? n]+1,其中[? n]表示取? n的整数部分;
(5)具有n个结点的完全二叉树的深度为[? n]+1;
(6)设完全二叉树共有n个结点。如果从根结点开始,按层序(每一层从左到右)用自然数1,2,……n给结点进行编号(k=1,2……n),有以下结论:
①若k=1,则结点为根结点,它没有父结点;若k>1,则该结点的父结点编号为INT(k/2);
②若2k n,则编号为k的结点左子编号为2k;否则该结点无左子结点(也无右子结点);
③若2k+1 n,则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1;否则该结点无右子结点。
满二叉树是指除最后一层外,每一层上的所有结点有两个子结点,则k层上有2 个结点深度为m的满二叉树有2 -1个结点。
完全二叉树是指除最后一层外,每一层上的结点数均达到最大值,在最后一层上只缺少右边的若干结点。 二叉树存储结构采用链式存储结构,对于满二叉树与完全二叉树可以按层序进行顺序存储。
二叉树的遍历:
(1)前序遍历(DLR),首先访问根结点,然后遍历左子树,最后遍历右子树;
(2)中序遍历(LDR),首先遍历左子树,然后访问根结点,最后遍历右子树;
(3)后序遍历(LRD),首先遍历左子树,然后访问遍历右子树,最后访问根结点。
1.7查找技术
顺序查找的使用情况:
(1)线性表为无序表;
(2)表采用链式存储结构。
二分法查找只适用于顺序存储的有序表,对于长度为n的序线性表,最坏情况只需比较? n次。
1.8排序技术
排序是指将一个无序序列整理成按值的有序表,对于长度为n的有序线性表,最坏情况只需比较? n次。
交换类排序法:(1)冒泡排序法,需要比较的次数为n(n-1)/2;(2)快速排序法。
插入类排序法:(1)简单插入排序法,最坏情况需要n(n-1)/2次比较;(2)希尔排序法,最坏情况需要O(n )次比较。
选择类排序法:(1)简单选择排序法,最坏情况需要n(n-1)/2次比较;(2)堆排序法,最坏情况需要O(nlog n)次比较。
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