2011年计算机等级考试二级C辅导实例编程(5)

　　用动态规划实现导弹拦截

　　某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。

　　输入导弹依次飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数)，计算这套系统最多能拦截多少导弹，并依次输出被拦截的导弹飞来时候的高度。

　　SAMPLE INPUT:

　　389 207 155 300 299 170 158 65

　　SAMPLE OUTPUT:

　　6

　　389 300 299 170 158 65

　　因为只有一套导弹拦截系统，并且这套系统除了第一发炮弹能到达任意高度外，以后的每一发炮弹都不能高于前一发炮弹的高度;所以，被拦截的导弹应该按飞来的 高度组成一个非递增序列。题目要求我们计算这套系统最多能拦截的导弹数，并依次输出被拦截导弹的高度，实际上就是要求我们在导弹依次飞来的高度序列中寻找 一个最长非递增子序列。

　　设 X={x 1 ,x 2 ,…,x n } 为依次飞来的导弹序列， Y={y 1 ,y 2 ,…,y k } 为问题的最优解(即 X 的最长非递增子序列)， s 为问题的状态(表示导弹拦截系统当前发送炮弹能够到达的最大高度，初值为 s=∞—— 第一发炮弹能够到达任意的高度)。如果 y 1 =x 1 ，即飞来的第一枚导弹被成功拦截。那么，根据题意“每一发炮弹都不能高于前一发的高度”，问题的状态将由 s=∞ 变成 s≤x 1 ( x 1 为第一枚导弹的高度);在当前状态下，序列 Y 1 ={y 2 ,…,y k } 也应该是序列 X 1 ={x 2 ,…,x n } 的最长非递增子序列(大家用反证法很容易证明)。也就是说，在当前状态 s≤x 1 下，问题的最优解 Y 所包含的子问题(序列 X 1 )的解(序列 Y 1 )也是最优的。这就是拦截导弹问题的最优子结构性质。

　　设 D(i) 为第 i 枚导弹被拦截之后，这套系统最多还能拦截的导弹数(包含被拦截的第 i 枚)。我们可以设想，当系统拦截了第 k 枚导弹 x k ，而 x k 又是序列 X={x 1 ,x 2 ,…,x n } 中的最小值，即第 k 枚导弹为所有飞来的导弹中高度最低的，则有 D(k)=1 ;当系统拦截了最后一枚导弹 x n ，那么，系统最多也只能拦截这一枚导弹了，即 D(n)=1 ;其它情况下，也应该有 D(i)≥1 。

　　假设系统最多能拦截的导弹数为 dmax (即问题的最优值)，则 dmax = max(D(i))

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