1、回溯法的一般描述

    可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x₁，x₂，…，x_n）组成的一个状态空间E={（x₁，x₂，…，x_n）∣x_i∈S_i ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。其中S_i是分量x_i的定义域，且 |S_i| 有限，i=1，2，…，n。我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

    解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。但显然，其计算量是相当大的。

    我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x₁，x₂，…，x_i）满足D中仅涉及到x₁，x₂，…，x_i的所有约束意味着j（j<i）元组（x₁，x₂，…，x_j）一定也满足D中仅涉及到x₁，x₂，…，x_j的所有约束，i=1，2，…，n。换句话说，只要存在0≤j≤n-1，使得（x₁，x₂，…，x_j）违反D中仅涉及到x₁，x₂，…，x_j的约束之一，则以（x₁，x₂，…，x_j）为前缀的任何n元组（x₁，x₂，…，x_j，x_j+1，…，x_n）一定也违反D中仅涉及到x₁，x₂，…，x_i的一个约束，n≥i>j。因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x₁，x₂，…，x_j）违反D中仅涉及x₁，x₂，…，x_j的一个约束，就可以肯定，以（x₁，x₂，…，x_j）为前缀的任何n元组（x₁，x₂，…，x_j，x_j+1，…，x_n）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

    回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。树T类似于检索树，它可以这样构造：

       设S_i中的元素可排成x_i⁽¹⁾ ，x_i⁽²⁾ ，…，x_i^(mi-1) ，|S_i| =m_i，i=1，2，…，n。从根开始，让T的第I层的每一个结点都有m_i个儿子。这m_i个儿子到它们的双亲的边，按从左到右的次序，分别带权x_i+1⁽¹⁾ ，x_i+1⁽²⁾ ，…，x_i+1^(mi) ，i=0，1，2，…，n-1。照这种构造方式，E中的一个n元组（x₁，x₂，…，x_n）对应于T中的一个叶子结点，T的根到这个叶子结点的路径上依次的n条边的权分别为x₁，x₂，…，x_n，反之亦然。另外，对于任意的0≤i≤n-1，E中n元组（x₁，x₂，…，x_n）的一个前缀I元组（x₁，x₂，…，x_i）对应于T中的一个非叶子结点，T的根到这个非叶子结点的路径上依次的I条边的权分别为x₁，x₂，…，x_i，反之亦然。特别，E中的任意一个n元组的空前缀（），对应于T的根。

       因而，在E中寻找问题P的一个解等价于在T中搜索一个叶子结点，要求从T的根到该叶子结点的路径上依次的n条边相应带的n个权x₁，x₂，…，x_n满足约束集D的全部约束。在T中搜索所要求的叶子结点，很自然的一种方式是从根出发，按深度优先的策略逐步深入，即依次搜索满足约束条件的前缀1元组（x_1i）、前缀2元组（x₁，x₂）、…，前缀I元组（x₁，x₂，…，x_i），…，直到i=n为止。

       在回溯法中，上述引入的树被称为问题P的状态空间树；树T上任意一个结点被称为问题P的状态结点；树T上的任意一个叶子结点被称为问题P的一个解状态结点；树T上满足约束集D的全部约束的任意一个叶子结点被称为问题P的一个回答状态结点，它对应于问题P的一个解。

【问题】       组合问题

    问题描述：找出从自然数1、2、……、n中任取r个数的所有组合。

    例如n=5，r=3的所有组合为： 

（1）1、2、3              （2）1、2、4              （3）1、2、5

              （4）1、3、4              （5）1、3、5              （6）1、4、5

              （7）2、3、4              （8）2、3、5              （9）2、4、5

              （10）3、4、5

则该问题的状态空间为：

E={（x1，x2，x3）∣x_i∈S ，i=1，2，3 }     其中：S={1，2，3，4，5}

约束集为：    x1<x2<x3

       显然该约束集具有完备性。

问题的状态空间树T：

⊙                ⊙           ⊙       ⊙   ⊙

⊙    ⊙   ⊙   ⊙     ⊙  ⊙  ⊙     ⊙  ⊙       ⊙

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2、回溯法的方法

       对于具有完备约束集D的一般问题P及其相应的状态空间树T，利用T的层次结构和D的完备性，在T中搜索问题P的所有解的回溯法可以形象地描述为：

       从T的根出发，按深度优先的策略，系统地搜索以其为根的子树中可能包含着回答结点的所有状态结点，而跳过对肯定不含回答结点的所有子树的搜索，以提高搜索效率。具体地说，当搜索按深度优先策略到达一个满足D中所有有关约束的状态结点时，即“激活”该状态结点，以便继续往深层搜索；否则跳过对以该状态结点为根的子树的搜索，而一边逐层地向该状态结点的祖先结点回溯，一边“杀死”其儿子结点已被搜索遍的祖先结点，直到遇到其儿子结点未被搜索遍的祖先结点，即转向其未被搜索的一个儿子结点继续搜索。

    在搜索过程中，只要所激活的状态结点又满足终结条件，那么它就是回答结点，应该把它输出或保存。由于在回溯法求解问题时，一般要求出问题的所有解，因此在得到回答结点后，同时也要进行回溯，以便得到问题的其他解，直至回溯到T的根且根的所有儿子结点均已被搜索过为止。

       例如在组合问题中，从T的根出发深度优先遍历该树。当遍历到结点（1，2）时，虽然它满足约束条件，但还不是回答结点，则应继续深度遍历；当遍历到叶子结点（1，2，5）时，由于它已是一个回答结点，则保存（或输出）该结点，并回溯到其双亲结点，继续深度遍历；当遍历到结点（1，5）时，由于它已是叶子结点，但不满足约束条件，故也需回溯。

3、回溯法的一般流程和技术

       在用回溯法求解有关问题的过程中，一般是一边建树，一边遍历该树。在回溯法中我们一般采用非递归方法。下面，我们给出回溯法的非递归算法的一般流程：

N

Y

N

Y

N

N

Y

Y

建立根结点root

建立root的第一个孩子结点node

建树完毕？

Node是叶子？

Node是解？

处理解

回溯node=parent(node)

Node还有孩子？

建立node的孩子结点node=parent(node)

建立node的孩子结点node=parent(node)

结束

开始

    在用回溯法求解问题，也即在遍历状态空间树的过程中，如果采用非递归方法，则我们一般要用到栈的数据结构。这时，不仅可以用栈来表示正在遍历的树的结点，而且可以很方便地表示建立孩子结点和回溯过程。

    例如在组合问题中，我们用一个一维数组Stack[ ]表示栈。开始栈空，则表示了树的根结点。如果元素1进栈，则表示建立并遍历（1）结点；这时如果元素2进栈，则表示建立并遍历（1，2）结点；元素3再进栈，则表示建立并遍历（1，2，3）结点。这时可以判断它满足所有约束条件，是问题的一个解，输出（或保存）。这时只要栈顶元素（3）出栈，即表示从结点（1，2，3）回溯到结点（1，2）。

【问题】       组合问题

    问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。

    采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：

（1）       a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；

（2）       a[i]-i<=n-r+1。

    按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：

       首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：

【程序】

# define   MAXN    100

int a[MAXN];

void comb(int m,int r)

{     int i,j;

       i=0;

       a[i]=1;

       do {

              if (a[i]-i<=m-r+1

              {     if (i==r-1)

                     {     for (j=0;j<r;j++)

                                   printf(“%4d”,a[j]);

                            printf(“\n”);

                     }

                     a[i]++;

                     continue;

              }

              else

              {     if (i==0)

                            return;

                     a[--i]++;

              }

       }     while (1)

}

 

main()

{     comb(5,3);

}

【问题】       填字游戏

    问题描述：在3×3个方格的方阵中要填入数字1到N（N≥10）内的某9个数字，每个方格填一个整数，似的所有相邻两个方格内的两个整数之和为质数。试求出所有满足这个要求的各种数字填法。

    可用试探发找到问题的解，即从第一个方格开始，为当前方格寻找一个合理的整数填入，并在当前位置正确填入后，为下一方格寻找可填入的合理整数。如不能为当前方格找到一个合理的可填证书，就要回退到前一方格，调整前一方格的填入数。当第九个方格也填入合理的整数后，就找到了一个解，将该解输出，并调整第九个的填入的整数，寻找下一个解。

    为找到一个满足要求的9个数的填法，从还未填一个数开始，按某种顺序（如从小到大的顺序）每次在当前位置填入一个整数，然后检查当前填入的整数是否能满足要求。在满足要求的情况下，继续用同样的方法为下一方格填入整数。如果最近填入的整数不能满足要求，就改变填入的整数。如对当前方格试尽所有可能的整数，都不能满足要求，就得回退到前一方格，并调整前一方格填入的整数。如此重复执行扩展、检查或调整、检查，直到找到一个满足问题要求的解，将解输出。

回溯法找一个解的算法：

{     int m=0,ok=1;

       int n=8;

       do{

              if (ok)     扩展;

              else         调整;

              ok=检查前m个整数填放的合理性;

       }     while ((!ok||m!=n)&&(m!=0))

       if (m!=0) 输出解;

       else         输出无解报告；

}

    如果程序要找全部解，则在将找到的解输出后，应继续调整最后位置上填放的整数，试图去找下一个解。相应的算法如下：

回溯法找全部解的算法：

{     int m=0,ok=1;

       int n=8;

       do{

              if (ok)    

{     if (m==n)      

{     输出解；

调整；

}

else  扩展;

                     }

                     else         调整;

              ok=检查前m个整数填放的合理性;

       }     while (m!=0);

}

    为了确保程序能够终止，调整时必须保证曾被放弃过的填数序列不会再次实验，即要求按某种有许模型生成填数序列。给解的候选者设定一个被检验的顺序，按这个顺序逐一形成候选者并检验。从小到大或从大到小，都是可以采用的方法。如扩展时，先在新位置填入整数1，调整时，找当前候选解中下一个还未被使用过的整数。将上述扩展、调整、检验都编写成程序，细节见以下找全部解的程序。

【程序】

# include <stdio.h>

# define N     12

void write(int a[ ])

{     int i,j;

       for (i=0;i<3;i++)

       {     for (j=0;j<3;j++)

                     printf(“%3d”,a[3*i+j]);

              printf(“\n”);

       }

       scanf(“%*c”);

}

 

int b[N+1];

int a[10];

int isprime(int m)

{     int i;

       int primes[ ]={2,3,5,7,11,17,19,23,29,-1};

       if (m==1||m%2=0) return 0;

       for (i=0;primes[i]>0;i++)

              if (m==primes[i])   return 1;

       for (i=3;i*i<=m;)

       {     if (m%i==0)   return 0;

              i+=2;

       }

       return 1;

}

 

int checkmatrix[ ][3]={  {-1},{0,-1},{1,-1},{0,-1},{1,3,-1},

                                   {2,4,-1},{3,-1},{4,6,-1},{5,7,-1}};

int selectnum(int start)

{     int j;

       for (j=start;j<=N;j++)

              if (b[j]) return j

       return 0;

}

 

int check(int pos)

{     int i,j;

       if (pos<0)              return 0;

       for (i=0;(j=checkmatrix[pos][i])>=0;i++)

              if (!isprime(a[pos]+a[j])

                     return 0;

       return 1;

}

 

int extend(int pos)

{     a[++pos]=selectnum(1);

       b[a][pos]]=0;

       return pos;

}

 

int change(int pos)

{     int j;

       while (pos>=0&&(j=selectnum(a[pos]+1))==0)

              b[a[pos--]]=1;

       if (pos<0)              return –1

       b[a[pos]]=1;

       a[pos]=j;

       b[j]=0;

       return pos;

}

 

void find()

{     int ok=0,pos=0;

       a[pos]=1;

       b[a[pos]]=0;

       do {

              if (ok)

                     if (pos==8)

                     {     write(a);

                            pos=change(pos);

                     }

                     else  pos=extend(pos);

              else  pos=change(pos);

              ok=check(pos);

       }     while (pos>=0)

}

 

void main()

{     int i;

       for (i=1;i<=N;i++)

              b[i]=1;

       find();

}

 

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