五、计算机数据表示
1.二进位计数制
引入二进制数字系统的计算机结构和性能具有如下的优点:
（1）技术实现容易。
（2）二进制运算规则简单。
（3）计算机中二进制数的0、1数码与逻辑代数变量值0与1吻合，所以二进制同时可以使计算机方便地进行逻辑运算。
（4）二进制数和十进制数之间的关系亦不复杂。
2.进位计数制相互转换
十进制数转换成二进制数:
十进制数据转换为二进制数时，因整数部分与小数部分转换算法不同，需要分别进行。
（1）整数转换方法———除基取余法
十进制整数除以2取余数作最低位系数k0 再取商的整数部分继续除以2取余数作高一位的系数，如此继续直到商为0时停止除法，最后一次的余数就是整数部分最高有效位的二进制系数，依次所得到的余数序列就是转换成的二进制数。因为除数2是二进制的基数，所以这种算法称作“除基取余”法。
（2）小数转换方法———乘基取整法
把十进制小数乘以2，取其积的整数部分作对应二进制小数的最高位系数k -1 再取积的纯小数部分乘以2，新得积的整数部分又作下一位的系数k -2 ，再取其积的纯小数部分继续乘2，…，直到乘积小数部分为0时停止，这时乘积的整数部分是二进制数最低位系数，每次乘积得到的整数序列就是所求的二进制小数。这种方法每次乘以基数取其整数作系数。所以叫乘基取整法。需要指出的是并不是所有十进制小数都能转换成有限位的二进制小数并出现乘积的小数部分0的情况，有时整个换算过程无限进行下去。此时可以根据要求并考虑计算机字长，取定长度的位数后四舍五入，这时得到的二进制数是原十进制数的近似值。
一个既有整数又有小数部分的数送入计算机后，由机器把整数部分按“除基取余”法，小数部分按“乘基取整”法分别进行转换，然后合并。任意进制数转换成十进制数:
任意一种进位计数制的数转换成十进制数的方法都是一样的。把任意进制数按权展开成多项式和的形式，把各位的权与该位上的数码相乘，乘积逐项相加，其和便是相应的十进制数。十进制数转换成任意进制数:
十进制数转换成任意进制数与十进制数转换成二进制数的方法完全相同，即整数部分用除基取余的算法，小数部分用乘基取整的方法，然后将整数与小数拼接成一个数作为转换的最后结果。
3.数的机器码表示
符号数的机器码表示:
（1）机器数和真值
数在计算机中的表示形式统称为机器数。机器数有两个基本特点，其一，数的符号数值化。实用的数据有正数和负数，因为计算机只能表示0、1两种状态，数据的正号“+”或负号“-”，在机器里就用一位二进制的0或1来区别。通常这个符号放在二进制数的最高位，称符号位，以0代表符号“+”，以1代表符号“-”，这样正负符号就被数值化了。因为有符号占据一位，数的形式值就不等于真正的数值，带符号位的机器数对应的数值称为机器数的真值。
机器数的另一个特点是二进制的位数受机器设备的限制。机器内部设备一次能表示的二进制位数叫机器的字长，一台机器的字长是固定的。字长8位叫一个字节（Byte），现在机器字长一般都是字节的整数倍，如字长8位、16位、32位、64位。
符号位数值化之后，为能方便的对机器数进行算术运算、提高运算速度，计算机设计了多种符号位与数值一起编码的方法，最常用的机器数表示方法有三种:原码、反码和补码。
（2）原码表示法和反码表示法
一个机器数X由符号位和有数数值两部分组成。
（3）补码表示法（complement）
设计补码表示法的目的是:①使符号位能和有效数值部分一起参加数值运算从而简化运算规则，节省运算时间。②使减法运算转化成加法运算，从而进一步简化计算机中运算器的线路设计。计算机是一种有限字长的数字系统，因此都是有模运算，超过模的运算结果都将溢出。n位二进制整数的模是2 n 。
对于二进制数还有一种更加简单的方法由原码求得补码。①正数的补码表示与原码一样，［X］补 =［X］原②负数的补码是将原码符号位保持“1”之后其余各位取相反的码，末位加1便得到补码，即取其原码的反码再加1∶［X］补 =［X］反 +1。
真值+0和-0的补码表示是一致的，但在原码和反码表示中具有不同的形式。8位补码机器数可以表示-128，但不存在+128的补码与之对应，由此可知8位二进制补码能表示数的范围是-128～+127。应该注意，不存在-128的8位原码和反码形式。
根据互补的概念，一个补码机器数再求一次补就得到机器数的原码了。
定点数与浮点数:
（1）定点数（fixed-point number）
计算机处理的数据不仅有符号，而且大量的数带有小数，小数点不占有二进制一位而是隐含有机器数里某固定位置上。通常采用两种简单的约定:一种是约定所有机器数的小数点位置隐含在机器数的最低位之后，叫定点纯整数机器数，简称定点整数。
另一种约定所有机器数的小数点位置隐含有符号位之后、有效数值部分最高位之前，叫定点纯小数机器数，简称定点小数。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按比例因子缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，结果输出时再按比例折算成实际值。n位原码定点整数的表示范围是-（2 n-1 -1）≤X≤2 n-1 -1，n位原码定点小数的表示范围是-（1-2 -（n-1） ）≤X≤1-2 -（n-1） 。当机器数小于定点数的最小值时，被当作0处理，超出定点数的最大值时，机器无法表达，称作“溢出”，此时机器将停止运算，屏幕显示溢出警告。
定点数表示方法简单直观，不过定点数表示数的范围小，不易选择合适的比例因子，运算过程容易产生溢出。
（2）浮点数（floating-point number）
计算机采用浮点数来表示数值，它与科学计算法相似，把任意一个二进制数通过移动小数点位置表示成阶码和尾数两部分:N=2 E ×S
其中:E———N的阶码（exponent），是有符号的整数;
S———N的尾数（mantissa），是数值的有效数字部分，一般规定取二进制定点纯小数正式。浮点数运算必须化成规格化形式。所谓规格化，对于原码尾数应使最高数字位S1 =1，如果不是1，且尾数不是全为0时就要移动尾数直到S1 =1，阶码相应变化，保证N值不变。如果尾数是补码，当N是正数时，S1 必须是1，而N是负数时，S1 必须是0，才称为规格化的形式。
4.数字编码
十进制数在机内转换成二进制数时，有时也以一种中间数字编码形式存在，它把每一位十进制数用四位二进制编码表达，每一组只表达0～9的数值运算时，有专门的线路在每四位二进制间按“十”进位处理，故称为二进制编码的十进制数———BCD码（Binary Coded Decimal（或称二—十进制数。其编码种类很多，如格雷码、余3码等，最常用的叫8421BCD码，4个二进制位自左向右每位的权分别是8、4、2、1。0～9的8421码与通常的二进制一样进位，十分简单，当计数超过9时，需要采取办法自动向十进制高位进一，即要进行“十进制调整”才能得到正确结果。
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