O(logn)求Fibonacci数列

　　题目：定义Fibonacci数列如下：

　　/ 0 n=0

　　f(n)= 1 n=1

　　\ f(n-1)+f(n-2) n=2

　　输入n，用最快的方法求该数列的第n项。

　　分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。

　　///////////////////////////////////////////////////////////////////////

　　// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively

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　　long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)

　　{

　　int result[2] = {0, 1};

　　if(n < 2)

　　return result[n];

　　return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);

　　}

　　但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系

　　f(10)

　　/ \

　　f(9) f(8)

　　/ \ / \

　　f(8) f(7) f(6) f(5)

　　/ \ / \

　　f(7) f(6) f(6) f(5)

　　我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。大家可以求Fibonacci的第100项试试，感受一下这样递归会慢到什么程度。在我的机器上，连续运行了一个多小时也没有出来结果。

　　其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。

　　更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。

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　　// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively

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　　long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)

　　{

　　int result[2] = {0, 1};

　　if(n < 2)

　　return result[n];

　　long long fibNMinusOne = 1;

　　long long fibNMinusTwo = 0;

　　long long fibN = 0;

　　for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)

　　{

　　fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;

　　fibNMinusTwo = fibNMinusOne;

　　fibNMinusOne = fibN;

　　}

　　return fibN;

　　}

　　这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：

　　{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1

　　(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)

　　有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。

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