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　　第四节　数据分析

　　一、基础统计分析

　　(一)描述统计分析

　　1.集中趋势的测度

　　集中趋势是指一组数据向其中心值靠拢的倾向，测度集中趋势就是确定数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势的测量有三个常用的指标：

　　(1)众数，是一组数据中出现次数最多的变量值。

　　对数据确定众数时，只需把数据整理后列出频数(出现次数)分布表，频数最多的那一组为众数。从分布图形来看，众数应对应于图形最高点。有些情况下数据分布可能表现为双众数，甚至多众数，也有另一种情况，即没有众数(均匀分布)。众数的基本思想，是用来反映一组数据若存在聚中趋势，则在数据的中心，变量值出现的频数较高，众数就是这一位置的代表值。

　　众数的一个突出特点是它不受极端数值的影响。

　　(2)中位数，是一组数据排序后处于中间位置的变量值，是一组数据的中点，即高于和低于它的数据各占一半。

　　(3)均值，是集中趋势的主要测度值，用于反映一组数值型数据的一般水平。主要包括算术平均数、调和平均数和几何平均数。

　　2.离散程度的测度

　　数据的离散程度是数据分布的另一重要特征，它是指各变量值远离其中心值的程度，所以也叫离中趋势。

　　离中趋势是经过综合与抽象后对数据一般水平的概括性描述，它对数据的代表性取决于数据的离散程度，离散程度小代表性就好，反之代表性就差。

　　(1)极差，也称全距，是一组数据中最大值与最小值之差。

　　极差是描述数据离散程度的最简单的方法，表明数据的分布范围。它计算简单，易于理解。但是极差由两端数值所决定，不能反映中间数据的分布离散状况。

　　(2)平均差，也叫平均离差，是各变量值(Xi)与其均值()离差绝对值的平均数：

　　平均差反映了所有数据与均值的平均距离。平均差越小，说明数据离散程度越小。

　　(3)方差和标准差。方差是一组数据中各变量值与均值离差平方的平均数。方差的平方根叫标准差。方差与标准差是描述数据分布特征的重要的统计量，它们是反映数值型数据离散程度最主要、最常用的方法。

　　根据总体数据和样本数据计算方差及标准差时，计算公式略有不同。

　　计算总体方差：

　　总体标准差:

　　计算样本方差:

　　样本标准差：

　　式中Xi是数值序列中的单个数值， 是这组数值的平均值,N是总体数值的个数，n是样本数值的个数。

　　计算样本方差与标准差时之所以与总体不同，是因为计算样本方差或标准差时，是要把它作为总体方差或标准差的估计量，统计上对估计量要求满足一些条件(一致性、无偏性、有效性)，为满足无偏性条件，样本方差计算时，分母要用n-1，而不是n。

　　3.相关分析

　　所谓相关分析，是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。

　　变量之间的相关关系主要有线性相关和非线性相关、正相关和负相关等几种形式。

　　对两个变量间线性相关程度的测量称为简单相关系数。样本相关系数定义公式为:

 

　　式中，r为样本相关系数，COVXY为协方差，Sx、Sy分别是变量x和y的标准差。(注意：公式中分子分母求和表达式中应该是i=1到n，而不是n=1到n)

　　相关系数r的取值范围在-1～+1之间。

　　·r=1或r=-1时，表明变量间的关系为完全正相关或完全负相关，这是两种极端的情况，实际上表明两个变量之间是线性关系;

　　·r=0时，表明变量间不存在线性相关关系，可能是无相关，也可能是非线性相关;

　　·0

　　·-l

　　|r|愈接近于l，变量间相关程度愈高，|r|愈接近于0，相关程度愈低。

　　在一般情况下，总体相关系数p是未知的，一般是用样本相关系数r作为总体相关系数P的估计值。但由于存在样本抽样的随机性，样本相关系数并不直接反映总体相关程度，因而，计算出来的样本相关系数在多大程度上值得信赖，需要进行检验。

　　|r|<自由度(df)为(n-2)的t统计量t(n-2)、显著性为a(10%;5%)的相关系数(查相关系数表)，其相关性是显著的。所谓“显著水平”或r=0，指的是很少会发生的概率。

　　(教材这句话是错误的，正确的表达为：

　　|r|< 时，相关性是不显著的。

　　|r|>时，相关性是显著的。

　　其中 ，而则可以通过查表得知，α可以取5%，也可以取10%)

　　在实际中，因为研究目的、变量类型的不同，采用的相关分析也不同。比较常用的相关分析有二元定距变量的相关分析、二元定序变量的相关分析、偏相关分析和距离分析等。

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