(2)年值与将来值的相互计算

　　年值是指某一特定时间序列期内，每隔相同时间收支的等额款项，用A表示，Annual value的缩写。

　　例题：每年年末分别按年利率6%存入银行100元，则按(1-2)式将每年年末的存款额分别计算出将来值累计求和，则4年末的复本利和F值为(见图1-3)：

 

　　『答案解析』F=100×(1+0.06)3+100×(1+0.06)2+100×(1+0.06)1+100×(1+0.06)0=100×[1+(1+0.06) 3+(1+0.06)2+(1+0.06)]。

　　根据上述思路，当计息期间为n，每期末支付的金额为A，资本的利率为i，则n期末的复本利和F值为：

　　F=A(1+i)0+A(1+i)1+A(1+i)2+…+ A(1+i)n-1=A×[(1+i)n-1]/i (1-4)

　　上式中，[(1+i)n-1]/i称为等额支付将来值因数，用符号(F/A,i,n)表示。同样，其因数值可从相应因数表中查得。

　　当已知将来值F，欲将其换算成年等值A时，只需将上式(1-4)式稍加变换即可得到：

　　A=F×i/[(1+i)n-1] (1-5)

　　式中1/[(1+i)n-1]称为等额支付偿债基金因数，用符号(A/F,i,n)表示，意味着已知F值求A值，同样，其值可由表中查得。

　　例题：欲在7年后偿还1000元借款，计划每年末存入银行一定数额的资金(称偿债基金)，若存款利率为8%，则每年末存款金额为多少?

　　『答案解析』已知：F=1000元，i=8%，n=7年。

　　利用公式A=1000×(A/F，i，n)，A=1000×0.1121=112.1(元)

　　即每年年末存款112.1元，7年末可得1000元。

　　年值与将来值的相互换算关系可用图1-4表示。

 

　　(3)年值与现值的相互计算

　　为了得出当年值为已知，求现值P的公式，只需应用已导出的已知F值求A值的(1-5)式和已知F值求P值的(1-3)式即可得出：

 (1-6)

　　附推导过程：将(1-4)式 代入(1-3)式 ，即可得出， 。

　　为了得到已知P值求A值的公式，只需将(1-6)式稍加变换即得：

　　 (1-7)

　　※(1-6)式中与A相乘的因数( )称为等额支付现值因数，用(P/A，i，n)表示，意味着已知A值时求P值。

　　※(1-7)式中与P相乘的因数( )称为资本回收因数，用(A/P,i,n)表示，意味着已知P值时求A值。

　　同样，上述因数值可通过查表的方式求得。现值P和年值A的相互换算关系图1-5所示。

 

　　值得指出的是：当n值足够大，年值A和现值P之间的计算可以简化。用(1+i)n去除(1-7)式资本回收因数的分子和分母，可得下式：

　　根据极值的概念可知：当n值趋于无穷大时， 将趋近于i值(即资本回收因数值)。同样，用(1+i)n去除(1-6)式等额支付现值因数的分子和分母可得：n趋于无穷大时其值趋近于1/i。事实上，当投资的效果持续几+年以上时就可以认为n趋于无穷大，而应用上述的简化算法，其计算误差在允许的范围内。利用上述道理，当求港湾、道路以及寿命长的建筑物、构筑物等的投资年值或净收益的现值时，将给问题的求解带来极大的方便。

　　 ,当n→+∝时，A=Pi;

　　 ，当n→+∝时，P=A/i。

　　※本部分考试采分点：永续年值计算。

　　【例2·单选题】某地区用100万元捐款修建一座永久性建筑物，该建筑物每年的维护费用为2万元(折算至年末)，除初期建设费用外，其余捐款(用于维护的费用)以6%的年利率存入银行，以保证正常的维护费用开支，则可用于修建永久性建筑物的资金是(　)万元。(2009年试题)

　　A.66.67

　　B.68.67

　　C.76.65

　　D.80.67

　　『正确答案』A

　　『答案解析』此题主要考查的是永续年值(n趋于无穷大)的情况，P=A/i，维护费用现值=2÷6%=33.33(万元)。可用于修建永久性建筑物的资金=100-33.33=66.67(万元)。

　　【例3·单选题】某永久性建筑物初期投资额为66.667万元，此后每年年末的作业费用为2万元，假定基准收益率为6%。则该方案的总费用现值是(　)万元。(2008年试题)

　　A.80

　　B.90

　　C.100

　　D.110

　　『正确答案』C

　　『答案解析』此题主要考查的是永续年值(n趋于无穷大)的情况，P=A/i，该方案的总费用现值=66.667+2÷6%=100(万元)。

　　【例4·单选题】某项目预计初期投资为100万元，投资效果持续时间(寿命)为无限，净收益发生于每年末且数值相等，若基准收率为10%，则年净收益超过(　)万元时，该项投资可以被接受。(2006年试题)

　　A.8

　　B.10

　　C.12

　　D.15

　　『正确答案』B

　　『答案解析』当n值足够大，年值A和现值P之间的计算可以简化。用(1+i)n去除(1-7)式资本回收因数的分子和分母，可得下式：

　　根据极值的概念可知：当n值趋于无穷大时， 将趋近于i值(即资本回收因数值)。

　　A=100万元×10%=10(万元)。

　　以上是关于极限的利用，对于A和P的关系。

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