例14 圆柱形气缸筒长2l，截面积为S，缸内有活塞，活塞可以沿缸壁无摩擦不漏气的滑动，气缸置于水平面上，缸筒内有压强为p0，温度为T0的理想气体，气体体积恰好占缸筒容积的一半，如图7-25所示。此时大气压也是p0，弹簧的劲度系数为k，气缸与地面的最大静摩擦力为f，求：

　　(1)当kl

　　(2)当kl>f，对气缸缓慢加热到活塞移至缸筒口时，气缸内气体的温度又是多少?

　　【错解】(1)以整体为对象。∵kl

　　以活塞为对象，末态受力如图7-26所示。

　　由平衡条件可知：p2S=p0S+kl

　　以气体为对象，p1=p0 V1=ls T1=T0

　　(2)当kl>f时，气缸要滑动

　　解法一：与(1)解法类似

　　对活塞受力分析如图7-26所示

　　其余解法与(1)相同，答案也与(1)相同，说明两种情况没有区别。

　　解法二：以活塞为对象受力分析如图7-27

　　p2S+f=kl+p0S

　　【错解原因】此题第一问解法及答案均正确。错误主要发生在第二问：(1)没有详细地分析kl>f情况下气缸，活塞的运动，而是套用了第一问解题的思路，分不清klf在此题中的本质区别。(2)解法2对活塞受力分析出现了气缸受力f，导致错误。

　　【分析解答】第一问如上所述，略。

　　第二问，当kl>f，就意味着弹簧压缩到一定程度，设压缩量为x，即kx=f处，就不继续压缩，这之后，气缸开始滑动，而气体则做等压升温膨胀。

　　气体的变化可以分为三种状态两个过程，如图7-28所示。

　　第一个过程：甲态→乙态，p，V，T都变。

　　而丙态的压强与乙态相同，

　　第二个过程：从甲态→丙态应用气态方程

　　【评析】

　　例15 如图7-29所示，左端封闭，右端开口的均匀U型管中用水银封有一段长150mm的空气柱。左臂总长为250mm，右臂足够长。如果将管的开口变为竖直向下，求空气柱的长度。(设大气压为750mmHg)

　　【错解】此题是属于气体在等温情况下压强和体积的变化的题，可以利用玻意耳定律求解。

　　初态：p1=(750+100)=850(mmHg)

　　V1=150S(cm3)

　　设倒转后左臂空气柱长度增加x，如图7-30所示，

　　则末态：p2=(750-100-2x)=(650-2x)(mmHg)

　　V2=(150+x)S(cm3)

　　由玻意耳定律有：p1V1=p2V2

　　即：850×150S=(650-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2-350x+30000=0

　　由数学知识可知，当△=b2-4ac=3502-4×2×3000<0，方程无解。所以，这道题是一道没有解的题。

　　【错解原因】在解题时，之所以出现这样的情况，是因为解题者的思维是势导致的错误，上述解法是从空气柱仍在左臂的假设出发的，难道空气就不能进到右臂?显然，认为空气柱仍在左臂的假设是需要重新考虑的。

　　【分析解答】在左臂原有空气柱长150mm的情况下，两管之间的水银柱的高度差与U型管倒转后空气柱是否进入右管有关，高度差越大，水银越重，倒转后，空气柱越有可能进入右管。那么，两臂水银面高度差为多大，才能让空气柱仍留在左臂呢?

　　设初始左、右两臂水银面高度差为h，倒转后空气柱仍在左臂(如图7-31)则：由玻意耳定律有：

　　(750+h)×150S=(750-h-2x)(150+x)S

　　整理得：2x2+(h-450)x+300h=0

　　当△=b2-4ac≥0时，方程有实数解，即

　　(h-450)2-4×2×300h≥0

　　解得：h≤62.5mm

　　也就是说，只有当两臂水银面高度差小于或等于62.5mm时，倒转后空气柱才可能仍留在左臂。而本文给出开始时水银面高度差为100mm>62.5mm，因此，U型管倒转后空气柱会进入右臂。

　　设右臂足够长，倒转后，水银柱已全部进入右臂如图7-32所示，末状态变为：V2=(250+y)S p2=(750-30)=450(mmHg)

　　根据玻意耳定律：

　　850×150S=450×(250+y)S

　　解得：y=33.3mm

　　则空气柱的长度为：l=(250+33.3)=283.3(cm)。

　　【评析】对于一道物理习题，应该从每个数值的物理意义去分析问题，而不能只单纯从数学运算的角度去制定。

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