二、填空题

3.(★★★★★)已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为_________.

4.(★★★★★)已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x)=_________.

三、解答题

5.(★★★★)设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式.

6.(★★★★)设f(x)是在(－∞,+∞)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式.若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值.

7.(★★★★★)动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，设x表示P点的行程，f(x)表示PA的长，g(x)表示△ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图.

8.(★★★★★)已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.

(1)证明：f(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；

(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.

参考答案

难点磁场

解法一：(换元法）

∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1

令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u

∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)

∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)

解法二：(配凑法）

f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5

∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).

歼灭难点训练

一、1.解析：∵f(x)=.

∴f［f(x)］==x,整理比较系数得m=3.

答案：A

2.解析：利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.

答案：B

二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x.

答案：f(x)= －x

4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.又f(x+1)=f(x)+x+1,

∴a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.

故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)=x2+x.

答案：x2+x

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