第三章 机械能

　　一、主要内容

　　本章内容包括功、功率、动能、势能(包括重力势能和弹性势能)等基本概念，以动能定理、重力做功的特点、重力做功与重力势能变化的关系及机械能守恒定律等基本规律。其中对于功的计算、功率的理解、做功与物体能量变化关系的理解及机械能守恒定律的适用条件是本章的重点内容。

　　二、基本方法

　　本章中所涉及到的基本方法有：用矢量分解的方法处理恒力功的计算，这里既可以将力矢量沿平行于物体位移方向和垂直于物体位移方向进行分解，也可以将物体的位移沿平行于力的方向和垂直于力的方向进行分解，从而确定出恒力对物体的作用效果;对于重力势能这种相对物理量，可以通过巧妙的选取零势能面的方法，从而使有关重力势能的计算得以简化。

　　三、错解分析

　　在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：“先入为主”导致解决问题的思路过于僵化，如在计算功的问题中，一些学生一看到要计算功，就只想到W= Fscosθ，而不能将思路打开，从W=Pt和W=ΔEt等多条思路进行考虑;不注意物理规律的适用条件，导致乱套机械能守恒定律。

　　例1 如图3-1，小物块位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物块沿斜面下滑的过程中，斜面对小物块的作用力 [ ]

　　A.垂直于接触面，做功为零

　　B.垂直于接触面，做功不为零

　　C.不垂直于接触面，做功为零

　　D.不垂直于接触面，做功不为零

　　「错解」斜面对小物块的作用力是支持力，应与斜面垂直，因为支持力总与接触面垂直，所以支持力不做功。故A选项正确。

　　「错解原因」斜面固定时，物体沿斜面下滑时，支持力做功为零。受此题影响，有些人不加思索选A.这反映出对力做功的本质不太理解，没有从求功的根本方法来思考，是形成错解的原因。

　　「分析解答」根据功的定义W=F.scosθ为了求斜面对小物块的支持力所做的功，应找到小物块的位移。由于地面光滑，物块与斜面体构成的系统在水平方向不受外力，在水平方向系统动量守恒。初状态系统水平方向动量为零，当物块有水平向左的动量时，斜面体必有水平向右的动量。由于m

　　「评析」求解功的问题一般来说有两条思路。一是可以从定义出发。二是可以用功能关系。如本题物块从斜面上滑下来时，减少的重力势能转化为物块的动能和斜面的动能，物块的机械能减少了，说明有外力对它做功。所以支持力做功。

　　例2 以20m/s的初速度，从地面竖直向上势出一物体，它上升的最大高度是18m.如果物体在运动过程中所受阻力的大小不变，则物体在离地面多高处，物体的动能与重力势能相等。(g=10m/s2)

　　「错解」以物体为研究对象，画出运动草图3-3，设物体上升到h高处动能与重力势能相等

　　此过程中，重力阻力做功，据动能定量有

　　物体上升的最大高度为H

　　由式①，②，③解得h=9.5m

　　「错解原因」初看似乎任何问题都没有，仔细审题，问物全体离地面多高处，物体动能与重力势相等一般人首先是将问题变形为上升过程中什么位置动能与重力势能相等。而实际下落过程也有一处动能与重力势能相等。

　　「分析解答」上升过程中的解同错解。

　　设物体下落过程中经过距地面h′处动能等于重力势能，运动草图如3-4.

　　据动能定量

　　解得h′=8.5m

　　「评析」在此较复杂问题中，应注意不要出现漏解。比较好的方法就是逐段分析法。

　　例3 如图3-5，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作研究对象，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩到最短的过程中 [ ]

　　A.动量守恒，机械能守恒

　　B.动量不守恒，机械能不守恒

　　C.动量守恒，机械能不守恒

　　D.动量不守恒，机械能守恒

　　「错解」以子弹、木块和弹簧为研究对象。因为系统处在光滑水平桌面上，所以系统水平方向不受外力，系统水平方向动量守恒。又因系统只有弹力做功，系统机械能守恒。故A正确。

　　「错解原因」错解原因有两个一是思维定势，一见光滑面就认为不受外力。二是规律适用条件不清。

　　「分析解答」以子弹、弹簧、木块为研究对象，分析受力。在水平方向，弹簧被压缩是因为受到外力，所以系统水平方向动量不守恒。由于子弹射入木块过程，发生巨烈的摩擦，有摩擦力做功，系统机械能减少，也不守恒，故B正确。

　　例4 如图3-6，质量为M的木块放在光滑水平面上，现有一质量为m的子弹以速度v0射入木块中。设子弹在木块中所受阻力不变，大小为f，且子弹未射穿木块。若子弹射入木块的深度为D，则木块向前移动距离是多少?系统损失的机械能是多少?

　　「错解」(1)以木块和子弹组成的系统为研究对象。系统沿水平方向不受外力，所以沿水平方向动量守恒。设子弹和木块共同速度为v.据动量守恒有mv0=(M+m)v

　　解得v=mv0

　　子弹射入木块过程中，摩擦力对子弹做负功

　　(2)系统损失的机械能

　　即为子弹损失的功能

　　「错解原因」错解①中错误原因是对摩擦力对子弹做功的位移确定错误。子弹对地的位移并不是D，而D打入深度是相对位移。而求解功中的位移都要用对地位移。错解②的错误是对这一物理过程中能量的转换不清楚。子弹打入木块过程中，子弹动能减少并不等于系统机械能减少量。因为子弹减少的功能有一部分转移为木块的动能，有一部转化为焦耳热。

　　「分析解答」以子弹、木块组成系统为研究对象。画出运算草图，如图3—7.系统水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。据动量守恒定律有

　　mv0=(M+m)v(设v0方向为正)

　　子弹打入木块到与木块有相同速度过程中摩擦力做功：

　　由运动草图可S木=S子-D ③

　　「评析」子弹和木块相互作用过程中，子弹的速度由V0减为V，同时木块的速度由0增加到V.对于这样的一个过程，因为其间的相互作用力为恒力，所以我们可以从牛顿运动定律(即f使子弹和木块产生加速度，使它们速度发生变化)、能量观点、或动量观点三条不同的思路进行研究和分析。类似这样的问题都可以采用同样的思路。一般都要首先画好运动草图。例：如图3-8在光滑水平面上静止的长木板上，有一粗糙的小木块以v0沿木板滑行。情况与题中极其相似，只不过作用位置不同，但相互作用的物理过程完全一样。

　　参考练习：如图3-9一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m

　　提示：注意分析物理过程。情景如图3-10.其中隐含条件A刚好没离B板，停在B板的左端，意为此时A，B无相对运动。A，B作用力大小相等，但加速度不同，由于A的加速度大，首先减为零，然后加速达到与B同速。

　　例5 下列说法正确的是( )

　　A.合外力对质点做的功为零，则质点的动能、动量都不变

　　B.合外力对质点施的冲量不为零，则质点动量必将改变，动能也一定变

　　C.某质点受到合力不为零，其动量、动能都改变

　　D.某质点的动量、动能都改变，它所受到的合外力一定不为零。

　　「错解」错解一：因为合外力对质点做功为零，据功能定理有△EA=0，因为动能不变，所以速度V不变，由此可知动量不变。故A正确。

　　错解二：由于合外力对质点施的冲量不为零，则质点动量必将改变，V改变，动能也就改变。故B正确。

　　「错解原因」形成上述错解的主要原因是对速度和动量的矢量性不理解。对矢量的变化也就出现理解的偏差。矢量发生变化时，可以是大小改变，也可能是大小不改变，而方向改变。这时变化量都不为零。而动能则不同，动能是标量，变化就一定是大小改变。所以△Ek=0只能说明大小改变。而动量变化量不为零就有可能是大小改变，也有可能是方向改变。

　　「分析解答」本题正确选项为D.

　　因为合外力做功为零，据动能定理有△Ek=0，动能没有变化，说明速率无变化，但不能确定速度方向是否变化，也就不能推断出动量的变化量是否为零。故A错。合外力对质点施冲量不为零，根据动量定理知动量一定变，这既可以是速度大小改变，也可能是速度方向改变。若是速度方向改变，则动能不变。故B错。同理C选项中合外力不为零，即是动量发生变化，但动能不一定改变，C选项错。D选项中动量、动能改变，根据动量定量，冲量一定不为零，即合外力不为零。故D正确。

　　「评析」对于全盘肯定或否定的判断，只要找出一反例即可判断。要证明它是正确的就要有充分的论据。

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