海文名师：2008年的数学将会延续今年的趋势

　　主持人：李老师的分布解题思路可以给许多网友提供一下借鉴，那其他老师呢？

　　李永乐：我讲一道选择题吧，今年代数的选择题有这样一道题，给出的A和B两个矩阵，要判断这两个矩阵，是不是合同，是不是相似。那么像这道题，主要是考察同学判断相似和判断合同的基本方法，要判断相似的话，我想一个就是要用相似的必要条件来进行排除。那么像这道考题的话，给出的这两个矩阵不相似是很容易看出来的，因为A和B这两个矩阵，他们主对角线元素的和不相等。所以这样两个矩阵肯定是不相似的，所以这个不相似应该很容易看出来。那么它们俩合同不合同呢？两个矩阵合同不合同，就是要检查它们的二次型的正负惯性指数，不是相同。那么要检查二次型正惯性指数，和负惯性指数，我想应当有两个基本的方法，一个方法就是用配方法，把二次型化成标准型，然后读正惯性指数，和负惯性指数。另外一个方法就是求出它们的特征值。根据特征值正负的情况，来决定正负惯性指数，那么作为这道考题，矩阵A的特征值很容易求，我想大家具体求一下，这道题矩阵A的特征值应当是3、3、0。这样表明矩阵A正惯性指数应当是2，负惯性指数应当是0。这和矩阵B二次型正惯性指数2，负惯性指数0是完全一样的。既然是这样的A和B这两个正负惯性指数一定是相同的，所以对这道考题来说，正确的选项应当是B，合同但是不相似。

图二

　　袁荫棠：数一和数三的概率题，一共是五个题，四个题都涉及到连续性随机变量，连续性随机变量就涉及到积分的问题，多数情况下，如果我们遇到连续性随机变量，需要求概率和积分的时候，最好事先画一个草图，把草图画出来以后，那么就有利于帮助我们正确的来确定积分线，或者正确的计算相应的概率。比如说第23题，设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=2-x-y，0小于x小于1，0小于y小于1。f（x，y）=0，其他，（1）求P（X大于2Y）。（2）求Z=X+Y的概率密度fz（z）（图二）。这个题目是二维连续型随机变量有关的题目，这第一问要求概率，求一个跟二维连续型随机变量有关的概率，那么实际上就是在对这个联合密度，在一个相应的区域上的重积分。所以这样我们必须把这个图画出来，这样才好将二重积分画成单积分，如图，首先把X等于2Y这条线画出来，那么X大于2Y就应该是图中阴影部分。所以第一问，这个概率就是PX大于2Y的这个概率，这个最基本的办法就是求概率在相应熟虑上的积分，应该是联合密度XY，积分的区域，就是X大于2Y的这个区域，所以就是G，G这个区域是三个条件，一个是x要大于2y，同时还要有x在（0，1）之间，那么y也要在（0，1）之间，把重积分化成单积分，有这个图就帮助我们正确的确定积分线。那么第二问仍然是个基本题，就是求两个随机变量函数的分布。两个随机变量的函数，考得比较多的就是两个随机变量的和，差，还有绝对值，最大值、最小值等等。还考过两个随机变量的乘积。那么两个随机变量和的分布，最基本的方法是求随机变量函数的分布函数。不管是一维随机变量，还是二维随机变量都应该先求分布函数，也就是要计算这样一个概率：F（z）=P（Z小于等于z）=P（X+Y小于等于z）。那么求这个分布函数，仍然是计算概率，就是计算X加Y小于等于Z这个概率，计算这个事件的概率，跟第一问是同样的方法，要对联合分布密度，在这个区域上进行一个二重积分，然后再把它化成单积分，然后具体的去做。那么这个题要注意的是什么呢，要注意的就是这个积分在z的不同的取值范围里面积分是不同的，要分段来做，Z在（0，1）之间，和Z在（1，2）之间这个积分的区域是不同的。如果是熟练的，准确的能够把积分算出来，那么这个题没有什么方法上的难度。但是要花比较多的时间，但是我们除了最基本的分布函数法以外，还有一个方法，对于两个随机变量函数之和，我们还有一个特殊的方法，就是卷积公式，大家比较熟悉的是两个独立的随机变量之和的卷积公式，不独立和的卷积公式大家会运用的话，这个和的密度的计算是很简单的。但是要注意积分线正确的选取。直接求密度，这是公式，我先把公式写出来，所以这个分数肯定有，下面要把联合密度，要换成具体的表达式，那么f（x，z-x）仅在某一个区域上不为零，所以要把f（x，z- x）要是换成具体的表达式的时候，对x的积分线不是负无穷到正无穷。这个时候要特别注意积分线的选择，x，z-x都要在（0，1）内，这个z应该是x到1+x之间，这个时候要用卷积公式应该再画另外一个图，如图，这个区域应该是平行四边形，所以就要分段，当z在（0，1）内的时候，x应该是从零积到z=x这条线，当是z是（1，2）的时候，x应该是z-1积到1，所以写的时候要分段。最后求出来的密度函数应该是三段。如果把图画得准确的话，那么对于帮助我们做题很有意的。另外选择你自己熟悉的方法，正确率会提高，选择比较简便的方法，会节约你解题的时间。

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