海文名师第一时间点评2008年考研数学真题

　　主持人：亲爱的各位搜狐网友，大家晚上好!今天搜狐教育频道特别邀请到万学海文学校数学考研辅导专家李元正老师、李永乐老师和王式安老师三位老师来到我们嘉宾聊天室，为广大网友在全国第一时间点评2008年考研数学真题。欢迎三位老师的到来，三位老师好!请你们先跟广大网友打个招呼。

　　李正元：大家好!我是李正元，我是辅导高等数学。

　　李永乐：大家好，我是李永乐，我主讲线性代数。

　　王式安：大家好，我是王式安，我主要讲概率统计。

　　主持人：研考数学考试今天上午已经结束，大家最关心得救是考题的答案解析和自己的考试情况，请三位老师结合高数、线性代数、概率在试题中所占的比例分布谈谈今年试题的总体特点。首先请李正元老师给我们谈一谈。

　　李正元：我主要讲一下高数，因为我看的比较多的比较详细的是数一，总体印象有这么几个特点： 第一，从难易程度来说，我觉得高数的难易程度比去年降低了点。 第二，大部分计算题的量，从高数来说也不是很大，很多主要是概念的应用。 第三，也出现了一些考试里面第一次出现的题型，比方说数一的有一道题，是高数基本定理的证明，后不会著名，一般可能像复习书上不会写的，如果同学基本概念比较清楚，这个证明题的方法应该是基本的，但是有些同学根本可能没复习到，原来数学熟练程度差点的可能也不知道怎么做了，但是基本证明题会几步就会得到相应的分数，这是第一个定理的证明题。作为定理证明题也不复杂，像前几年数三、数四也出面过证明，那个比这个难一点，这个相对来讲就几步。这是第一个第一次体现。

　　第二，像条件极值问题，如果二元极值只有一个条件，这是自然的，二元函数的极值问题有几种情况，一种是一个条件，一种是两个条件，方法是一样的，今年数四也是两个条件的，所以这是第一次以前没有出现过的。比如还有三阶长系数，这也是第一次出现。当然要自己对这个东西没复习到，等于就不会，难度并不大。

　　傅立叶级数已经多少年没考过，有同学问今年会不会考?看问题有两面性，多年没考过的考试频率比较低，会不会有可能性，但是还有多少年没有考过，今年也可能考，所以问题有两面性，自己要决策。求福利爱系数和富里艾级数以前考过，但是这个本质上和求合没有区别，就算个级数，这个意义说有一些新的题型，但是这个难度并不大。当然有的同学如果没有复习到，或者放弃某些内容的复习，这个题目可能就不太会了。所以这就是我总体上觉得今年考试的特点。

　　另外一个，有一些题目计算量不大，有一些东西是基本工夫的应用，比如选择题的第一次，是变限积分的求导，里面2+T的积分，就是求导一下，到案是2X，把X方带进去，就是…2+X平方，这是恒正的，这么一看就很清楚了。

　　比方里面有一个一个函数FX，在负无穷、正无穷上单调有界，XN这个数列底下就讨论，相当于XN收敛，FXN是否也收敛的一个问题，这个题到这儿应该能想到，能用的定理就是单调有界，F本身收敛，如果XN单调符合结果，FXN也一定单调，自然应该选择这样一个，如果FN单调，FXN就收敛。这里面没有用很多计算，就是一些概念的运算，还有其他一些题目也是这样的问题，所以很多基本的东西我想也体现了考试里面基本东西是非常重要的。我说的有一些题目计算量并不大，其实根据也在这儿，我只要概念清楚，其实有些个别题目不用动手，只要脑子里面，当然首先内容要熟练，动动脑子这个题目就可以做出来了，不必要计算，但不是所有题目都这样，那是不可能的。

　　比方说有一个第一次考试的定理的证明，数一的第18题，假设函数FH连续，大FX等于小F的积分，证明大FX可导的，导函数就是小FX。作为定理的证明，或许用已知的定理证明，最基本的就是按定义证明，这个问题能想到按定义证明就是一步了，就是大F德尔塔X+F大X减FX，除于德尔塔X，现在就要大FX+德尔塔X，跟大F表现出来，两个相健，就利用积分对区的可加性，这里面有一部分减掉了，就等于是F的积分从X到德尔塔X，再除以德尔塔X的极限，这里面就要用积分中值定理，这个极限就等于F…的极限，这个是在F加德尔塔X之间。这就是基本的定理，也有基本的定义的应用。

　　这儿最容易犯的错误，当你写了最后一步的时候，而不是利用积分中的定理，而是用所谓的罗比特法则做的时候就犯了概念性的错误，这里面分子、分母的求导，实际上用的是导数的公式，这个就是错误的，分数就没有了。这个题我想并不困难，但是我估计得到满分的大概不会太多，因为有的同学就不很熟悉这种方法。其实方法都讲过，首先会用定义，然后用积分中值定理，都是基本概念。

　　所以从这个考试里面一定要重视，有的同学以前也问过我，特别是对将来在备考中，问问老师基本定理的证明要不要做?我的回答是这样的，有一些定理证明相对比较复杂，没有很多的代表性，当然这个就不应该说把它花很大力气了，但是有一些基本定理证明题，本来这个方法是基本的，对解其他题目也有很大启发意义的话，这种证明应该要会的。像我们这个定理的证明基本方法应该是常规的，是常见的，所以对基本定理一些证明我想应该是这样的态度来处理它。

　　另外对于数一来说，这次考题里面，多元跟一元部分，一元微积分加常规方程是一部分，多元微积分加上级数是另外一块，高数里面考分的比例，今年来看分数加起来应该是差不多很接近的，是一半一半的，也许多元还略微高一点。当然还有一些多元的分数比较高，不管怎么样一元是基础，所以在复习里面这个当然指以后要准备考试的，一元跟多元的处理上来说，一元应该是个基础，多元微积分里面很多都要用到一元的部分，考试题分数的比例来说，这两年来这两个比例不是相差很悬殊的，很多情况下多元部分分数比一元要高一点，这次也差不多是这样的情况。

　　主持人：下面请李永乐老师谈一下今年试题总体的特点。

　　李永乐：今年代数考试是这样的，从填空和选择来看都是围绕着特征值设置题目的，利用特征值来判断矩阵的可逆，用特征值来求行阶数的值，利用特征值来处理合同，像数一就是跟二次曲面挂钩。今年填空题跟选择题都是围绕着特征值，所以把特征值如果掌握的比较好的话，今年像填空、选择应当是很容易，计算量也不大。

　　今年代数的解答题，有一道题是N阶方程组的求解，这个N阶方程组的求解首先涉及到要算一个N阶行阶数的值，要算这个行阶数的值，因为这相当于一个证明，所以像这道题我想用数学归纳法最简单，大家如果用数学归纳法把这个证明出来这么做是最简单的。

　　但是这个三条对角线的行阶式，往年数四的填空题里面考过，如果单纯的算行阶式这个计算方法比较简单的是用递推的方法，我估计同学用递推的放学可能有困难。作为解方程组这道题，第一问算行阶式的值，证明行阶数的值我想最好的方法是用数学归纳法，也可以用递推的方法来求。

　　这道题的第二问是求方程组的唯一解，实际上就是在考克莱姆法则，这道题不是求整个方程组的解，只是求其中一个，求X1的值，这样用克莱姆法则把分子、分母两个行阶式一算，答案就非常容易了。因为第一问已经告诉你行阶式应当是什么，已经告诉你行阶式应当得多少，所以第二问把第一问的结论一带进来，用克莱姆法则马上就把X1求出来。

　　这道题的第三问是要求无穷多解，要求无穷多解我想很容易看得出来应该是行阶式等于0的时候，现在只有一种可能性，就是小A得0，这时有无穷多解。这个情况下就要考虑方程组解的结构，把方程组的解求出来，把7次方程组的基础解析求出来，这样通解就很容易求。现在就不知道这个7次方程组基数解析同学求的时候会不会出毛病，从以往接触同学的情况来看，像N次方程组求解，有些同学基数解析会求出毛病来。

　　数一的另外一道节他题考的是一个质的问题，考的是矩阵质的证明题。作为数一的矩阵质的证明题，我想只要用好矩阵质里面一个基本的公式，矩阵A+B的质小于等于矩阵A的质+矩阵B的质，如果用这个公式第一问就可以马上证出来了。

　　至于这道题的第二问，在阿尔发和贝他线性相关的条件下，如果大家用一下线性相关的几何意义，阿尔发和贝他是线性相关的，阿尔发和贝他是不是有一个倍数关系，所以咱们是不是可以假设贝他是阿尔发的某一个倍数，如果假设阿尔发是贝他的某一个倍数，大家把信息一带进去，就可以马上证明A的质一定是小于2。所以我想数一的证明题主要考的是矩阵质的概念。

　　数三、数四另外一道解答题，一个是考的是线性无关的证明，作为一个线性无关的证明题我想是以往考试当中最常见的一种，就是考同学的定义法，让大家用定义法来证明这个与线性无关，就要求同学们先假设它们的合等于0，然后把这个组合系数是0给证出来。

　　第二问考一个相似，这个是05年数四考题当中出现过的。05年数四的考题就是这样一个出题法，告诉大家A阿尔发等于什么，让同学把A阿尔发这个条件用矩阵方程的方法拼好，马上就出现相似了，所以这道题的第二问和05年的考题完全是一样的。 所以从今年代数几道考题的出题情况来看，我想考的还是代数里面基本的内容，计算量不大，概念比较多，题目解起来比较灵活一些。我想今年代数题大概的特点是这样的，如果同学在过去复习当中重视基本的东西，要比较熟悉的话我想今年代数题还是比较好做的。

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