随着2014年考研日期的日趋临近，莘莘学子们正忙碌而紧张地进行着各考试科目的最后总复习，在各门考试科目中，数学作为一门公共科目，常常令一些考生感到头疼、没有把握，这一方面是因为数学本身的逻辑性、连贯性很强、公式多、计算量大，要学好它有一定难度，另一方面是因为某些考生以前对数学的重视程度不够，基础知识学得不够扎实，所以面对即将到来的大考信心不足。为了帮助这些考生能顺利通过考试，文都教育的老师针对历年考研数学的题型特点，进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面主要分析数学三概率统计部分二维随机变量及其分布的一类重要题型及解题方法。

　　题型：求二维随机变量的函数的分布及概率

　　求二维随机变量的函数的分布、密度及概率是一个重要考点，常用的方法包括：

　　1)对一般的函数，通常是先求分布函数，再求概率密度;

　　2)对常见的几种函数可以直接利用公式，常见的有：Z=X+Y, max{X,Y} ,min{X,Y}

　　3)对Z=g(X,Y)，其中X与Y有一个是离散型随机变量，另一个是连续型随机变量，则常用到全概率公式：FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=

　　例1.设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{X,Y}的分布函数为( )

　　(A) F2(x) (B) F(x)F(y) (C) 1-[1-F(x)]2 (D) [1-F(x)][1-F(y)] (2008年考研数学三真题第7题)

　　解：FZ(z)=P{Z≤z}=P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}= F(z)F(z)= F2(z) ，故选(A)

　　例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，

　　(Ⅰ)求P{X>2Y};(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度fZ(z) (2007年考研数学三真题第23题)

　　解：(Ⅰ)由概率计算公式得：  P{X>2Y}

　　(Ⅱ)FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z},当z≤0时，FZ(z)=0;当z≥2时，FZ(z)=1;当0<z<1时，FZ(z)=

　　当1≤z<2时，FZ(z)= 于是

　　例3.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=1/3 (i=-1,0,1)，Y的概率密度为 ，记Z=X+Y，求：

　　(Ⅰ)求P{Z≤1/2|X=0};(Ⅱ)求Z的概率密度 (2008年考研数学三真题第22题)

　　分析：Z是一个离散型和一个连续型随机变量之和，求分布函数或密度时一般是按全概率公式展开

　　解：(Ⅰ)P{Z≤1/2|X=0}=P{Y≤1/2|X=0}=P{Y≤1/2}=1/2

　　(Ⅱ)FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}=P{X+Y≤z,X=-1}+P{X+Y≤z,X=0}+P{X+Y≤z,X=1}=P{Y≤z+1,X=-1}+P{Y≤z,X=0}+P{Y≤z-1,X=1}=

　　=P{Y≤z+1}P{X=-1}+P{Y≤z}P{X=0}+P{Y≤z-1}P{X=1}=1/3[P{Y≤z+1}+P{Y≤z}+P{Y≤z-1}]=1/3[FY(z+1)+FY(z)+FY(z-1)],

　　于是

　　上面就是考研数学三概率统计部分二维随机变量及其分布的一类重要题型及解题方法，以及应注意的事项，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，文都教育的老师们还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位考生在2014考研中取得佳绩。

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