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　　纵观考研数学多年来的考试大纲和考试真题试卷，总体上讲变化不大。每年的考试范围和知识点基本相同或相近，考试题型的变化幅度也不是很大，其中有一些重要题型是年年考或经常考，如果考生能完全掌握这些重要题型的解题思路和方法，并能熟练地解答这些题型，则对于顺利地通过考研数学考试将有极大帮助。为了帮助各位考生学会并提高解答数学重要题型的水平，考研辅导老师针对历年考研数学中的重要题型进行深入解剖，分析提炼出各种常考重要题型及方法，供考生们参考。下面主要分析高等数学中关于方程根的个数问题这类重要题型及解题方法。

　　题型：方程根的个数问题(一)

　　方程 =0的根，也就是函数 的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关理论加以分析和解决。

　　主要的分析解决工具包括：

　　1)函数零点定理：若函数 在 上连续，且 ，则至少存在一点 ，使 ( 称为函数的零点)。

　　2)函数单调性：若函数 在 上连续且单调(单调增加或单调减少)，则：1)当 时， 在 上有唯一零点;2)当 时， 在 上没有零点。

　　3)罗尔中值定理：若函数 在 上连续，在 上可导，且 ，则至少存在一点 ，使 。

　　一般求解步骤：

　　1)先看有无明显的实根;

　　2)引入相应函数，写出定义域，判断端点函数值和特殊点函数值的正负;

　　3)求导数，找出驻点和单调区间，讨论在各单调区间上的实根个数。

　　典型例题

　　例1.求方程 不同实根的个数，其中k为参数 (2011年考研数学一第17题)

　　解析：显然 =0是一个实根。令 ，则 ， ， ， ;若 ， 单调减少， 只有唯一零点，即原方程只有唯一实根x=0;

　　1)若 ， 在 上都是单调减少，且 ，故 只有唯一零点，原方程只有唯一实根x=0;

　　2)若 ，当 时， ， 单调增加，而 ，所以 ;当 时， ， 单调减少;由此得： 在区间 上各有一个零点，即原方程在这3个区间上各有一个实根。

　　综上得：当 时，方程只有一个实根;当 时，方程有3个不同实根。

　　例2.设有方程 ，其中 为正整数，证明此方程存在唯一正实根 ，并证明当 时，级数 收敛 (2004年考研数学一第18题)

　　解析：设 ，则 ，由零点定理知 在(0,1)上至少有一个零点。而 ，故 在(0，+∞)上单调增加，因此， 在(0，+∞)上只存在唯一一个零点 ，且0< <1，由 ，得 ，当 时，级数 收敛，由正项级数的比较审敛法知， 收敛。

　　注：n次方程有n个根，因此方程 的负实根可能有很多个(可能还有复数根)。

　　上面就是考研数学之高等数学中的方程根的个数问题这类重要题型及解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师们还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位考生在2015考研中取得佳绩。

　　题型：方程根的个数问题(二)

　　方程 =0的根，也就是函数 的零点，有关方程根的问题一般可以利用函数的有关理论加以分析和解决。这类问题的主要分析解决工具包括：函数零点定理，函数单调性，罗尔中值定理。关于这些理论，在前一篇文章中已经做了说明，下面主要看一些典型例题。

　　典型例题

　　例1.(2012年考研数学二第21题)

　　(Ⅰ)证明方程 ( 为整数)在区间 内有且仅有一个实根;

　　(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为 ，证明 存在，并求此极限

　　解析：(Ⅰ)令 ，则 ， ， 连续，由零点定理得， 在区间 内有一个实根，又 ， 在(0，+∞)内单调增加，故 在区间 内仅有一个实根。

　　(Ⅱ)由 ， 得 ，而 在(0，+∞)内单调增加，故 ，即 单调减少，又 ，所以 存在，设 ，则由 ，得 ，因为 ，所以 ，上式取极限得 ，

　　例2.(2005年考研数学三第7题)

　　当 取下列哪个值时，函数 恰有两个不同的零点( )

　　(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

　　解析：函数定义域为(-∞，+∞)，令 ，得 ，因为 ，所以 为极大值， 为极小值。由 知，

　　当 或 时， 恰有两个不同的零点，解之得 或 ，应选(B)

　　例3.(2000年考研数学一第九题)设函数 在[0,π]上连续，且 ， ，试证：在(0,π)内至少存在两个不同的点 ，使 .

　　证：分析：由条件 和推广的中值定理易知，存在 ，问题的关键是怎么利用第二个条件。为此，令 ，则 ， ，由推广的中值定理得，存在 ，使 ， ，而 ，分别在 上利用罗尔定理可得，存在 ，使 ，即 。

　　例4.设 ，则 的不同实根个数为( )

　　解析：5个。由 ，根据罗尔定理知， 在区间(1,2),(2,3),(3,4)中各有1个实根，又x=3是 的二重根，故x=3是 的单根，同理，x=4是 的二重根。 是6次方程，共有6个实根(x=4是二重)，不同实根个数为5.

　　上面就是考研数学之高等数学中的方程根的个数问题这类重要题型及解题方法，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师们还会陆续向考生们介绍其它常考重要题型及解题方法，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。

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