在数学备考的过程中,我们大都会把自己沉浸习题的海洋里,做题,查答案,做题,查答案,如此反复,不免枯燥。于是,我们找来一些有趣的数学小题目,快利用你的碎片时间来挑战一下吧。
1、设函数f(x)在(-∞,+∞)内单调有界,{xn}为一数列。下面命题正确的是( )
A、若{xn}收敛,则{f(xn}收敛。
B、若{xn}单调,则{f(xn)}收敛。
C、若{f(xn)收敛,则{xn}收敛。
D、若{f(xn)}单调,则{xn}收敛。
解题思路
(1)——(C)(D)都不对的关键在于:在本题条件下,就算相应的函数值列收敛或单调,自变量列xn可以是趋向正无穷的,没有极限。
(2)——(A)情形只知道自变量列xn收敛,它可能不是单调的。
单调的函数不一定连续。且,“如果单调函数在单调区间内一点x0间断,则只能是跳跃间断。”(实际上,如果函数在x0的左右极限相等,则f(x0)只能等于极限值,否则就破坏了单调性。)
设想xn既有子列从左边,又有子列从右边趋向点x0,则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故(A)错。
反例:x小于0时f=x,f(0)=1,x大于0时f=2+x
(3)——(B)对。在本题条件下,若自变量列单调,相应的函数值列必定也单调。且是有界的。
2、f(x)在[a,b]上可微,且f‘(x)在(a,b)内单调增加,又f(a)=f(b)=A(常数),证明,在(a,b)内,恒有f(x)
解题思路
这是个运用“构造法”的好题。
f(x)在[a,b]上可微,自然连续。f(a)=f(b)=A,故由洛尔定理,(a,b)内存在一点c,f′(c)=0
已知f′(x)单增,故零点唯一。且在(a,c)内f′(x)<0,f(x)单减,f(x)
而在(c,b)内f′(x)>0,f(x)单增,f(x)
从而在(a,b)内,恒有f(x)
3、计算极限小总结
(1)非零的因式先求极限。
(2)0/0型未定式题目的两个主要类型——
分子(或分子分母各)是“等价无穷小相减产生的高阶无穷小”——
应对手段:连续使用洛必达法则。
修练方法:利用五个常用函数的幂级数展开式,尽可能多记一些等价无穷小
分子分母是“不同阶的无穷小的线性组合”,(无穷小多项式)——
应对手段:(化零项法)分子分母同除以商式中的最低阶的无穷小,各项分别取极限。
4、(每段是初等函数的)分段函数求导,分界点处用定义计算,各段用法则与公式。老老实实地记与做,既简明又少犯错误。
当然,你可以懂得更细一点。可导一定连续。不连续必然不可导。连续是讨论可导性的前提。
函数在点a可导的充分必要条件是左右导数存在且相等。
在定义分界点a的一侧,比如右则。可以用定义求得右导数。同时,在右側这一段内,你用法则与公式求出了导函数。自然就会产生一个想法,能否以此求极限得到点a的导数。这是锤炼知识及思维细密性的好时机。
(1)如果求极限,是求导函数在点a的右极限。这个右极限存在吗?
(2)按照定义求右导数。“右导数”与“导函数在点a的右极限”是两回事。
(3)如果这个右极限存在,它和“右导数”相等吗?
用拉格郎日公式可以证明,“如果导函数在点a的右极限存在,则函数在点a的右导数一定存在,且两者相等。”(一个好练习题!)
左侧可以类似讨论。
结论:验证了分段函数在分界点a连续后,在两边区间内各自求导。令x趋于a,分别求导函数的极限。若两者相等,它就是函数在点a的导数。若两者不等,函数在点a不可导。
前提很清晰,这样处理也可以。
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