2005研招考试数学一部分试题答案

填空题：

1.y＝x^2/(2x+1)的斜渐近线
斜渐近线为y= 1/2x-1/4

2.微分方程xy'+2y＝xlnx符合y(1)=－1/9的特解为1/3x*lnx-1/9x

3.u(x,y,z)=1+x^2/6+y^2/12+z^2/18，n为单位向量1/根号下3(1,1,1)，求u对n的方向导数。=1/3^0.5

4.求∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑为z=根号下(x^2+y^2)与半球z=根号下(R^2-x^2-y^2)围成的曲面，方向朝外。=pi*R^3(2-2^0.5)

5.A=(a1,a2,a3)，B=(a1+a2+a3,a1+2a2+3a3,a1+4a2+9a4)，已知|A|=1，求|B|=2

6.有1,2,3,4四个数，从中任取一个记为X，再从1至X的整数中，再任取一个记为Y，求P(Y=2)=13/48

选择题：

1.  两个不可导点  -1，1
2.  A
偶函数得导函数是奇函数，奇函数得导函数是偶函数！
但反过来看，你想 F(x)=f(x)得积分+C，关键是这个参数C，怎么也不能产生个负号使F(x)变奇函数。所以选项C不对

计算题：（1）

1.将积分域分成两块。<=1，以及>=1
最终得到  1/8+1/4=3/8

大题（2）：
首先根据题意求出
f(3)=2;
f(0)=0
f '(3)=-2
f '(0)=2
f "(3)=0
然后使用两次分步积分
最终得到  -(-14-2-4)=20

大题（4）
a=0;
正交变换：
1/(2^0.5) , 1,0
-1/(2^0.5),0,0
0,,,,,,,,,,0,1
通解：
k(1,-1,0) k为任意实数。

大题（5）
5.幂级数~~
收敛区间 （-1，1）
和函数：
=x^2/(1+x^2)+2xarctgx-ln(1+x^2)

此主题相关图片如下：

因为AB=0，所以rank(A)+rank(B)<=3
因为A的第一行a,b,c不全为0，所以rank(A)>=1
又当k=9时，rank(B)=1，
当k不等于9时，rank(B)=2
下面分别讨论两种情况。
当k=9时，由上面的不等式得到:rank(A)<=2
当rank(A)=2时，有一个线性无关解。因为AB=0，知道B的任意一个非零列向量为Ax=0解空间的一组基。
所以此时的通解为k(1,2,3)，k为不等于0的实数。
当rank(A)=1时，解空间为2维。知道B的一个列向量为一个基向量。
下面求出另外一个基向量·！！！重点部分！
设基向量为(x,y,z)
有(x,y,z).(1,2,3)=0  
(x,y,z).(a,b,c)=0
又(1,2,3)与(a,b,c)线性无关
所以
(1,2,3)x
(a,b,c)y=0该方程组的解空间为1维。
````````z
当b不等于2a时
最终解的基向量为{ (-3b+2c)/(b-2a),(3a-c)/(b-2a),1}
得到该种情况下的通解为k1(1,2,3)+k2 { (-3b+2c)/(b-2a),(3a-c)/(b-2a),1}，k1,k2为不全为0的实数
当b等于2a时，由于(1,2,3)与(a,b,c)线性无关,知道此时c不等于3a。
该种情况得到基向量为 (-2,1,0)
得到该种情况下的通解为k1(1,2,3)+k2 (-2,1,0)，k1,k2为不全为0的实数

当k不等于9时，由上面的不等式得到:rank(A)<=1，即rank(A)=1，解空间为2维。知道B的一个极大线性无关组为一组基。
即通解为 k1(1,2,3)+k2(4,6,k)，k1,k2为不全为0的实数。