海文名师王平点评2006年考研数学真题

　　主持人：下面我们邀请到海文学校的王平老师为各位网友点评考研数学。

　　王平：大家好，非常高兴和大家交流一下有关今年的数学试卷情况。

　　主持人：现在跟我们说一线今年数学试卷的难度吧。

　　王平：从我们掌握的情况来看正如我们考前预测的情况一样，《数学一》将会比去年略微简单一些，《数学二》、《数学三》、《数学四》的水平和往年相当。从2005年的考试分析情况来看，国家命题方面还是非常希望能够将平均分锁定在50%的位置，而从2006年的考试实际情况来看，《数学一》的平均分差距较大，所以今年的题目略有简单，但是《数学一》往往令考生难为头疼总的来说也是最难的科目，这一点也不容忘记。

　　主持人：今年的卷面和往年比有什么变化吗？

　　王平：从考研数学的要求来看近年来基本上侧重基础、侧重综合为主，今年试卷来看我们以《数学一》为例，出现了历年真题中较少出现的题型，但实际上题目难度并未增加，只是角度略有不同。我们以今年《数学一》第15题为例，这道题是这两年出现的较新的一种题型，在此之前有关二重积分这类的题目一般计算量较大、较为复杂，主要是考查考生的计算水平。而从去年出现了取整函数这样的新型函数以后，今年这道题也有这样的趋势，但总的来说这是一道非常基本的题型，严格属于教学大纲之中的，难度与同济大学教材课本的课后习题相一致。这里想问一下在座的考生，希望你们能积极的回答，您手头是否能回忆起这样题目。

　　由于数学考试的录入的公式，较为复杂，广大的网友现在不大容易回忆起题目，在这里我给大家做一些题目思路的点评。我们从数学一开始，第15题是一个基本的题目，刚才说过了。可以采用的办法是，用极坐标系表达。代入雅可比行列式后，其中有一部分由于它是极函数的积分，可为零。通过这样的计算，计算量将较为简单。在这里提醒广大考生注意的是，在历年的考试过程当中，词类题目我们最应注意的是积分率的变化，去年的考题就是我们的进行分段的积分。

　　第16题，也是一个较为基础题目。第一问让证明极限的存在并求极限，这样的题目我们看到的时候就应该想到，通常证明极限存在有几种办法，在大学考研的大纲的要求之中除了利用单调有限求极限另一种是利用夹击的定理求极限，这道题非常像是用单调有界求极限，有了这样的思路证起来就较为容易。

　　我们应该注意到，通过XN这个序列是递减的，并有下界0，这样就已经证明出来了。随后的求极限也较为简单，这里可以提示考生一个技巧，我们考研复习中并不提倡用技巧解决问题。但是有的时候题目的上下文会过多过少给予我们一些提示，比如说这个题的第二小问，“由于XN分值XN+1，在XN有极限的情况必然等于1，这样如果极限如果能求出它的指数一定是无穷大，也就是说XN必然为0”，这就是题目给我们的暗示。当然对于这个题目而言这是不需要考虑的，它是可以证的，我们设极限sinA为A，可求出等于0。有了第一问的铺垫，

　　第二问，有了前面的铺垫后就是较为基本的运用罗必达法则求极限的问题，这里就不再多展开讲解了，提示大家注意的一点是在书写的过程之中，前面一问的结论最好在这里再引用一下，因为的1的无穷大次方是保证使用罗必达法则的充分条件。

　　第17题是一个较新型的题目，与前几年有关极数知识点的热点不同，前些年通常会考一些竖向极数的求和，这一道题目的展开，用到了一个基本变形。其实这是在数学中常见的一种变形，就是化有理分式，这在我们求不定积分和定积分分中都较为常见，而作为这样一种题型，则属比较少见。这就提醒着我们学数学的一个方法，千万不要死记题型，解决数学问题的阵地就在于将复杂的问题简单化。这道题就是将原来的方式转化为两个更基本的分式。由于录入原因，这里不给大家念出。注意它的分母是一个非常容易因式分解的二次的多项式。转化为基本的一次分式以后，可利用最基本的1/1-X和1/1+X的求合，这里跟大家强调一下一定要注意收敛域。

　　第18题，这是一个较为常见的题型。如在李永乐里全真模拟的四百题中常见这类题目踪迹，这类题目的特点是较为复杂也教委综合，综合了复合函数的求导的链式法则，与微分方程的链式求解两部分内容。这种题目看起来随着比较吓人，实际上考生也经常犯错，相信很多的学生只要静下心来，有足够的时间是可以算对的。因为一般考生做这道题的时候都是学生做题时间最为紧张的时刻，因为一般就不会有充分的时间进行解答。这道题的思路也比较好找，首先是利用链式法则和已知关系式进行划减，这样的划减比必将得到进一步证明的结论。也就是说结果第一问主要是通过链导法则。有了第一问的结论后，相信稍微有心一些复习的考生，解决第二问就不难了，第二问的微分方程有复合的方程，一个高次可降解的微分方程，还有一个变量可分离的奇次微分方程两种。本题计算量在这次考试中，相对复杂。

　　第19题，从历年情况来看第二型曲线曲面积分至少考一题，04年考了两个题。今年这个题目与往年不大相同，不过因为它是微积分的最后一个题，属于全卷的压轴题，这样的难度是相当合适的。个人认为和去年最后一个题相比，题目给予我们的提示性要稍强一些。解决这样的问题如何思考呢？首先我们不能忽略这样一点，就是裁。当看到题目的条件后，我们应该猜到一个能够满足这个条件的F、X，当然证明过程不能这样写，但是它往往会带给我们一些提示，因为它的性质会给我们题目中的从抽象到更为具体的性质。要证明它任意分段光滑，曲线积分为零，利用格林公式来证明一个二级积分在定义域内处处为0。这里提示大家一点，已知条件可以做这样的变形，可变形为T×T×F(Tx，Ty=Fxy)两边对T求导，可得到一个较为简化的等式，该等式与格林公式辩证后的域证等式只差一个基本的换元。即使是这一步也有相当考生不大容易看的出来，这是一个数学基本功的问题了。

　　说到这里，点评完今天的高等数学以后，顺便回答一下刚才几位网友比较关心的问题，就是有关参考答案。有关参考答案，由于数学科目的特点，在这样实时聊天的环境下，并不是最佳给出的时机，我们将在随后在网上供给大家下载。

　　我们转入下面一道题目，第20题，非奇次线性方程组，有关奇次与非奇次线性方程一直是线性代数的热点，每年几乎线性代数的两道大题，一个是解线性方程另外一个是求特征值，当然去年有点例外，但是本质上是一样的。这道题我们注意到说到三个线性无关解，由于是非奇次有一个特解，也就是它的基础解析积为2，那么对于一个四元方程而言，他们的质也就是2了，对于求AB值以及方程组通解这样的问题，就是非常基本的计算了。

　　21题，这里发表这样一个感想，线性代数这门课甚至说我们考研数学的准备过程中，有时候可以用较少的工具来解决很多的问题，顶多是较少工具用起来稍微笨拙一些，缓慢一些，就我解决问题而言对于线性方程是否有解的问题，我更习惯于初一时候学习的几种方法，因为它印象最深，虽然算比较很慢，但是很稳健。21题也是如此有两个解项量还告诉你每行元素之和是3，如果做过题目的同学就会知道每行元素之和是3，必然有一个特征值是3，当然这个特征值是3可以利用特征行列式把行列式写出做变换得到。

　　以这个题为例，比较弱的办法就是这样，将A每一行设为X1、X2、X3，利用X1+X2+X3=3以及两个解项量可以得出X1、X2、X3的值，这样可以非常迅速的解出A，A是一个全一矩阵，有了这样的矩阵，其他的相似对角阵等都是非常基本的课内功课了。

　　22题，从考前的一些传言来看，认为概率会有所改变，普遍认为会在统计部分改变，但是从事实情况看是从概率论部分的题目变动较大，和往年略有不同。但是总的来说概率论与数理统计的考试难度同本与课本习题难度较为吻合，相信基础复习比较扎实的同学，课本复习比较到位的同学都有比较好的思维，也相信有很多同学由于做卷时间不合理而痛失这样的分数。我们每年都告诉同学先做线性代数与数理统计最后做高等数学。

　　这道题也是从《数学一》到《数学四》都考到的题目。

　　23题也体现了一个小小的技巧，计算X1、X2、X3之中小于1的个数N，我们可以直接用N=X1+X2+X3……+XN其中大N是等于1，n-N是大于等于1的，通过这样就可以例出θ的N次幂×1-θn-N次幂，求解即可。

　　下面我们讲一下经济类数学题目，经济类数学从历年情况来看《数学三》、《数学四》重题较多，这里就带给大家一部分。《数学三》和《数学四》的科目特点是题目较《数学一》复杂度有所降低，技巧度也较低，只要扎扎实实复习下来的人考试时往往有思路，但是做对做不对是另外一回事儿。这里挑几道考生较头疼的证明题带给大家。

　　如《数学三》中的第17题，看到这样的题目就应该很迅速的感受到它对你的提示，就是构造一个辅助函数。我们可以令FX=X×sinX×cosX+2sinX，其实写到这一步，有自信的考生就会非常坚定的知道这道题已经拿满全分了，后面只是书写过程，这个sinX必定是一个求导数。由于初等函数我们不必考虑连续可导等充分条件，但是考生要注意有些考生考试中拿不到满分往往是自己忽略一些重要的充分条件，论述逻辑不够严密。提到这里，由于时间所限，特别提醒考生注意的一点是，考研数学估分是一件不大容易的事情，因为大题的给分、证明题的给分，往往和我们的预期有所偏差。在这样的前提下，推荐大家估分稍微保守一些，这样对自己更为负责。相信数学对于广大考生来讲都只是为了过线，那么我们可以共同祈祷分数线低一点儿，我们的分数高一点儿，祝各位考生都能够取得很好的成绩。