文登学校黄先开教授：解析2006年考研数学

　　黄先开：我想刚才这位网友可能很关心数学四用到的所谓麦克劳林展开的那种方法，大概有两个地方。 一个地方是选择题第一题，还有一个是相当于第19题。其实这两个题当然可能网上有一些解答是按照这样的方法来做的，其实这两个题我自己认为没有必要用麦克劳林公式。像选择题的第1题，也就是整个试卷的第7题，涉及到一个二级导数大于零，我们一般想到可能用到麦克劳林，但是对于我们考数三、数四大家知道公式又是步骤要求的，因此遇到这种情况我们在辅导的时候其实也多次的强调，其次典型的应该用曲线的凹凸性，这个题用这个就可以找出来。

　　完全类似的像第19题，其实也没有必要用麦克劳林公式，我们直接运用这个极限的预算法则再加上其他的法则都可以轻松的把这个问题解答，所以我认为数四不存在超纲的问题。

　　网友：请问数三最后一个题极大似然应该怎么做？

　　主持人：由于访谈的局限性不能很清晰的演算过来，老师可以稍微提一下用什么方法。

　　黄先开：这个考生是提到了今年整个数学考试里面我认为比较创新的一个题，确实也是整个试卷难度比较大的地方，这个数一里面也出现了。因为平时大家做题的时候都没有出现概率密度函数是分三段的，一般情况下最多是分两段，所以这个题用极大似然估计求这样一个参数，实际上我认为还是涉及到你对这个概念的理解。因为极大似然估计我们要找的是联合概率密度函数取到最大值的时候我去反求参数，所以对于这个题来讲首先我要理解联合密度概率函数实际上等于边缘概率密度函数相乘的，所以怎么把联合密度函数乘起来，这涉及到分段函数相乘。但是这个题的条件告诉你样本点取0到1的时候大N个，所以我找联合密度函数的时候这个大N个的我们是清楚的。剩下就是小N减大N个，这样你把它乘起来得到一个，你再用通常的方法估计这个参数就可以了。

　　网友：数二的不等式证明题，把题目看错了将左右两边看错为统一形式，仅证明了F（b）大于F（a），会怎么评分？

　　黄先开：这个题现在我们还没有一个完整的真正的标准的试卷，大家只是通过监考过程中了解的一些信息，我们也发现在网上不同的版本对这个不等式的表述形式是不完全一样的，所以这个题实际上从我了解的情况来看两边应该是对称的，所以刚才这位网友提这个问题应该是没有问题的。因为我没有看到完整的原始的题是什么样，但是如果两边不对称这个题实际上是没有办法证明的，所以两边一对称你用参数变异的方法找一个参数去换都可以，然后求两次导数，两次导数是对号的，最后用单调性很轻松的就可以证明出来了。

　　主持人：我们也知道现在网上的版本不一样，答案也不一定都是非常标准的，我们看到现在又有网友提问，请你整体说一下数一。

　　那请老师分别针对数一、数二、数三、数四，根据考试的情况给我们分析一下吧。

　　黄先开：刚才主持人也说了，因为我们的拿到的题不见得和原题完全一致，所以对所谓的标准答案也很难做到标准，我利用这个机会给大家简单的分析一下。

　　数学一首先第15大题，作为一个二重积分的计算题应该说是很基础的。大家也知道由于我们的积分区域是具有对称性的，所以马上想到我这个倍减函数的奇偶性，我们在运算性其中的一部分具有奇偶性，所以整个后面一部分就不要去算它了，剩下的是一个典型的利用极坐标来计算的情况。这个题的答案我认为应该是二分之一派乘上LM2。这应该是一个基本题，实际上这块我们辅导的时候也给大家强调过，除了极坐标下如何来计算二重积分，二重积分里面的一些变化情况，就是积分区域具有倍份性我想到奇偶性。第二，如果积分区域不具有倍份性，但是有奇偶性，我们可以思考能不能进行适当的分别，我再利用这个来做。

　　今年考的这个题应该说是第一部分处理了一个简单的用一下这种技巧就可以很方便的把答案算出来。

　　数学一的第16大题，实际上是用公式给出来我们的数列，这个时候标准方法单调有极限来做，首先证明极限存在，然后假设这个极限是多少，在公式里边同时找极限，找到这个极限应该是等于零。

　　第二步再来计算一个幂指函数的极限，这个幂指函数明显的是等于一，作为幂指函数如果极限是一可以很简单的，大家都知道辅导时候我们都知道是指数函数从而很方便的计算出来。这个答案应该是一的负六分之一次幂。

　　数一的第7题，把一个函数转为X的幂级数。大家知道在幂极数这部分主要考点考两个，一个是给一个数求，另外一个是给一个函数转为幂极数。转为幂极数有一个方法，一个是直接法，一个是间接法，这个我们也特别强调，实际考试一般都考间接法，这个函数也是一样的，只要适当的去分解，最后都是用一个最简单的一减X分之一，这个函数转为幂极数来讨论就可以。

　　在这个题里头大家应该注意到收敛区间，因为我们把它分成了几部分，几部分的收敛区间不完全一致，所以我们应该找它的公共部分。

　　数一的第18题，实际上可以看作是一个稍微综合一点的问题。首先涉及到二级偏倒数的计算，这应该是一个基本要求，引出一个微分方程。这个微分方程可以把它看作是可降阶的，也可以使直接等式的两边同时乘上一个U，然后把左边凑成某一个函数的导数，直接积分。最后找到FU答案应该是LMU。

　　其实类似的问题只要参加过辅导的同学印象应该比较深，其次在搜狐网站也挂了我们文登学校四套模拟题，大家看第三套模拟题第18题跟这个是完全类似的。

　　数一第19题，是涉及到第二类曲线积分的计算或者说是证明。要求证明在任何一个分段光滑的简单曲线上第二类曲线为零，大家知道用格林公式，涉及到偏导数的计算。告诉我们的条件是类似于一个函数，所以只要把条件的等式两边同时计算导数，再令这个级等于一，这样与两个偏倒数刚好是相同的，从而证明我们需要的这样一个结论。

　　类似这样的题在陈老师编的复习指南里也有。

　　数一第20题，这个题还稍微有一点特别，告诉我们分其次方程有三个线性无关的解，要证明系数举证的次数等于零。大家可以发现质至少是2，因为根据质的两个定义方法，第一行、第二行无关，所以这个举证至少为2。也可以看到至少有一个2阶指数为0，所以至少为2。问题是我这个为什么小于等于2，复习的时候如果大家注意到这两点，告诉你非其次方程有三个现在无关的解，也就是告诉你其次方程有两个线性无关的解，从而导数这个条件。事实上我们辅导的时候也特别强调，只要见到了线性方程组我们应该思考对应的质，这刚好利用其次线像方程这样就联系起来了。所以这个题的核心就是我对应的其次线性方程有多少个线性无关的解，但是也可以按照解的性质，两个非其次方程的解相减以后是其次方程的解。假设非其次方程有三个线性无关的解比如说阿尔法1，或者简单的写A1、A2、A3，那好了都是无关的解了，它的系数举证应该满足条件，从而证明我这个质等于2。有些时候在考试的时候，即使不能完全的证明出来，但是像关键步骤写出来了我们也是可以得分的。

　　第二部分求A和B的质再求通解，这就回到我们常规的问题来了。这个地方算出来A是等于2，1应该等于负3。

　　数一的第21题，也是线性代数里考得比较灵活的一个题，是求特定向量，但是又没有给告诉我们举证A的具体元素，这种题我们看作是抽象来求值。其实在这里头辅导的时候我们也说了，抽象取证来考虑特征值有四个可以说等价的形式，一个形式是利用行列式等于零，第二个形式是利用举证的质，第三个是利用方程组的解，第四个直接利用向量的定义。平时我们见的比较多的都是第四种情况，这四个知识点如果我们能够连贯起来这个地方出题就可以很灵活了，所以这个在复习过程中其实是值得大家特别注意的。

　　这个题如果大家上一下搜狐网去搜索一下我们文登学校的四套模拟题可以找一下第四套，因为这个题今年的数一、数二、数三、数四都考了同一个题，如果把我们第四套模拟题里的填空题再加上线性的大题来看，刚好把这个题的问题可以说都包含进去了。也就是说这种典型的思想在这个模拟题里都很好的体现出来了。因为搜狐网还有文登学校的模拟题大家可以看一下数四的这套题。

　　首先得到的是每行元素之合是等于3，我们辅导的时候也说了，告诉我们两个线性无关解的向量，相当于告诉我们有两个0的值，对于的是向量，所以特征值是300，对应向量也出来了，然后把阿尔法1、2，因为本身不是正交，我们把它正交化就构成我们的正交取证。

　　考数三、数四还有一个步，要求举证一。数三、数四还涉及到求某一个举证的高次幂，这个大家可以稍微注意一下，我们发现网上提供的信息和我们的试卷是有差别的，应该求这个举证的6次幂，但是我们很多网上的版本里没有这个举证的高次幂。其次再利用对角化求多次幂也是比较常规的了。

　　作为一个X平方去求概率密度这是一个基础问题，也就是说随机变量的函数求分数，这个地方通过定义先找出X平方它的值域范围，再根据概率密度函数，把负1、2、3带到这个表达式里面，我们可以得到三个点，所以求这个概率密度的时候我们是要分四段来讨论。这也是我们上课辅导的时候特别强调的处理技巧，这一点如果没有这样去思考可能个别同学会有一定的难度。

　　其次求级方差，算出来的结果大家可以去参考应该是三分之二，最后求一个求出来的答案应该是四分之一，相当于直接求概率就可以。

　　23题刚才有一位网友已经问到了，这是今年数一里面难度最大的一个题，这个题可以看作一个新的题型，但是本质上还是你是不是理解了极大似然的核心估计是什么，你找出来再去求级次这个问题就解决了。