线性代数（一）99年上半年试题

　　一、填空题（每空2分，共16分）

　　1．若n阶方阵A与B相似，且|A|=2，则|BA|= ________。

　　2．或A是n阶方阵，且|A|=3，A*是A的伴随矩阵，则|3A*|=__________ 。

　　3．设A是n阶退化矩阵，A*是A的伴随矩阵，且秩（A*）≠0，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含_______个解向量。

　　4．设A是n阶方阵，且A3=0，则A的特征值是__________ 。

　　5．设A= 是正定矩阵，则a=___________ 。

　　6．设A是m×n矩阵，A’是A的转置矩阵，且秩（A’）=n-1，则秩（A）=_________ 。

　　7．设A=（1，-1，2），B= ，则BA=__________ 。

　　8．=___________。

　　二、单项选择题（每小题2分，共12分）

　　1．对任意n阶方阵A，B，总有 （ ）

　　A. |A+B|=|A|+|B|
　　B. (AB)’=A’B’
　　C. (A+B)2=A2+2AB+B2
　　D. |AB|=|BA|

　　2．在下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ ）

　　A. B. C. D.

　　3．设α1，α2，α3，是3阶方阵A的列向量组，且齐次线性方程Ax=0只有零解，则（ ）。

　　A. α1可由α2，α3线性表出
　　B. α2可由α1，α3线性表出
　　C. α3可由α1，α2线性表出
　　D. A、B、C都不成立

　　4.= （ ）。

　　A. 24 B. –24 C. 42 D. 0

　　5．若n阶方阵A与B合同，且|B|=4，则方程组Ax=b。 （ ）

　　A. 无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 有4个解

　　6．若λ0是n阶方阵A的特征值，则2A的特征值是 （ ）

　　A. λ0 B. 2λ0 C. (1/2)λ0 D. -2λ0

　　三、判断题（每小题2分，共12分）

　　1．设A，B，C，D都是n阶方阵，且ABCD=E, 则一定有CDAB=E。 （ ）

　　2．对任意n阶方阵A，B，C，若AB=AC，则一定有B=C。 （ ）

　　3．若α1,α2,α3,α4都是3维向量，则α1,α2,α3,α4必线性相关。 （ ）

　　4．若A是4×6矩阵，则齐次线性方程组Ax=0必有非零解。 （ ）

　　5．若3阶方阵A的3个顺序主子式都大于零，则A必是正定矩阵。 （ ）

　　6．对任意n阶方阵A与B，若A与B有相同的特征值，则A与B一定相似。（ ）

　　
　　四、计算题（一）（每小题6分，共30分）

　　1.计算行列式：

　　2．设A= ，求A的逆矩阵A-1。

　　3．求基础解系：

　　4．设α1=（1,2,3）, α2=(0,-2,1), α3=(1,4,a), 问当a为何值时，α1,α2,α3线性相关。

　　5．设A=  ，B= ， 计算　2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A B。
　

　　五、计算题（二）（每小题11分，共22分）

　　1．A= ，求可逆矩阵U，使　-1 　　　　　　　　　　　-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　U　 AU为对角矩阵，并写出U　 AU。

　　2.用非退化线性替换化实二次型f (x1, x2, x3)=x1x2-3x1x3+5x2x3为规范型，并写出所用的非退化线性替换及规范型。

　　六、证明题（8分）

　　设n阶方阵A与B相似，证明：A和B有相同的特征多项式。