2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(3)

竞赛讲座03

　　--同余式与不定方程

　　同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.

　　1. 同余式及其应用

　　定义:设a、b、m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为 或 一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r(r=0，1，…，m-1)，恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2

　　对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.

　　利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:

　　(1) 若 ,则m|(b-a).反过来,若m|(b-a),则 ;

　　(2) 如果a=km+b(k为整数),则 ;

　　(3) 每个整数恰与0,1,…，m-1，这m个整数中的某一个对模m同余;

　　(4) 同余关系是一种等价关系：

　　① 反身性 ;

　　② 对称性 ，则 ，反之亦然.

　　③ 传递性 ， ，则 ;

　　(5)如果 ， ，则

　　① ;

　　② 特别地 应用同余式的上述性质，可以解决许多有关整数的问题.

　　例1(1898年匈牙利奥林匹克竞赛题)求使2n+1能被3整除的一切自然数n.

　　解∵ ∴ 则2n+1 ∴当n为奇数时，2n+1能被3整除;

　　当n为偶数时，2n+1不能被3整除.

　　例2 求2999最后两位数码.

　　解 考虑用100除2999所得的余数.

　　∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴2999的最后两位数字为88.

　　例3 求证31980+41981能被5整除.

　　证明 ∵ ∴ ∴ ∴ 2.不定方程

　　不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数;如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.

　　(1) 不定方程解的判定

　　如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.

　　例4 证明方程2x2-5y2=7无整数解.

　　证明 ∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.

　　① 若x为偶数，则 ∴ ∵方程两边对同一整数8的余数不等，

　　∴x不能为偶数.

　　② 若x为奇数，则 但5y2+7 ∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.

　　说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.

　　例5 (第14届美国数学邀请赛题)不存在整数x,y使方程

　　①

　　证明 如果有整数x，y使方程①成立，

　　则 = 知(2x+3y2)+5能被17整除.

　　设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时(2x+3y)2+5=(17n)2+34na+(a2+5)=a2+5(mod17)，而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下(2x+3y)2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.

　　例7 (第33届美国数学竞赛题)满足方程x2+y2=x3的正整数对(x，y)的个数是( ).

　　(A)0 (B)1(C)2(D)无限个(E)上述结论都不对

　　解由x2+y2=x3得y2=x2(x-1)，

　　所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则 为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).

　　说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.

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