2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(7)

竞赛讲座07

　　--面积问题和面积方法

　　基础知识

　　1.面积公式

　　由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式.它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用.

　　设△ ， 分别为角 的对边， 为 的高， 、 分别为△ 外接圆、内切圆的半径， .则△ 的面积有如下公式：

　　(1) ;

　　(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 2.面积定理

　　(1)一个图形的面积等于它的各部分面积这和;

　　(2)两个全等形的面积相等;

　　(3)等底等高的三角形、平行四边形、梯形(梯形等底应理解为两底和相等)的面积相等;

　　(4)等底(或等高)的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高(或底)的比;

　　(5)两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方;

　　(6)共边比例定理：若△ 和△ 的公共边 所在直线与直线 交于 ，则 ;

　　(7)共角比例定理：在△ 和△ 中，若 或 ，则 .

　　3.张角定理：如图，由 点出发的三条射线 ，设 ， ， ，则 三点共线的充要条件是：

　　.

　　例题分析

　　例1.梯形 的对角线 相交于 ，且 ， ，求 例2.在凸五边形 中，设 ，求此五边形的面积.

　　例3. 是△ 内一点，连结 并延长与 分别交于 ，△ 、△ 、△ 的面积分别为40，30，35，求△ 的面积.

　　例4. 分别是△ 的边 和 上的点，且 ，求△ 的面积的最大值.

　　例5.过△ 内一点引三边的平行线 ∥ ， ∥ ， ∥ ，点 都在△ 的边上， 表示六边形 的面积， 表示

　　△ 的面积.求证： .

　　例6.在直角△ 中， 是斜边 上的高，过△ 的内心与△ 的内心的直线分别交边 和 于 和 ，△ 和△ 的面积分别记为 和 .求证： .

　　例7.锐角三角形 中，角 等分线与三角形的外接圆交于一点 ，点 、 与此类似，直线 与 、 两角的外角平分线将于一点 ，点 、 与此类似.求证：

　　(1)三角形 的面积是六边形 的面积的二倍;

　　(2)三角形 的面积至少是三角形 的四倍.

　　例8.在△ 中， 将其周长三等分，且 在边 上，求证： .

　　例9.在锐角△ 的边 边上有两点 、 ，满足 ，作 ， ( 是垂足)，延长 交△ 的外接圆于点 ，证明四边形 与△ 的面积相等.

　　三.面积的等积变换

　　等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证(解)题.

　　例10.凸六边形 内接于⊙ ，且 ， ，求此六边形的面积.

　　例11.已知 的三边 ，现在 上取 ，在 延长线上截取 ，在 上截取 ，求证： .

　　例12. 在 内，且 ∽ ，求征： 例13.在 的三边 上分别取点 ，使 ， ，连 相交得三角形 ，已知三角形 的面积为13，求三角形 的面积.

　　例14. 为圆内接四边形 的 边的中点， 于 ， 于 ， 于 ，求证： 平分 .

　　例15.已知边长为 的 ，过其内心 任作一直线分别交 于 点，求证： .

　　例16.正△ 正△ ， ， ， ， ，

　　， .求证： .

　　例17.在正 内任取一点 ，设 点关于三边 的对称点分别为 ，则 相交于一点 .

　　例18.已知 是正六边形 的两条对角线，点 分别内分 ，且使 ，如果 三点共线，试求 的值.

　　例19.设在凸四边形 中，直线 以 为直径的圆相切，求证：当且仅当 ∥ 时，直线 与以 为直径的圆相切.

　　训练题

　　1.设 的面积为10 ， 分别是 边上的点，且 若 ，求 的面积.

　　2.过 内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将 分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为 ，求三角形 的面积.

　　3.在 的三边 上分别取不与端点重合的三点 ，求证： ， 中至少有一个的面积不大于 的面积的 .

　　4.锐角 的顶角 的平分线交 边于 ，又交三角形的外接圆于 ，过 作 和 边的垂线 和 ,垂足是 ，求证：四边形 的面积等于 的 面积.

　　5.在等腰直角三角形 的斜边 上取一点 ，使 ，作 交 于 ，求证： .

　　6.三条直线 互相平行， 在 的两侧，且 间的距离为 ， 间的距离为1，若正 的三个顶点分别在 上，求正 的边长.

　　7.已知 及其内任一点 ，直线 分别交对边于 ( )，证明：在 这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2.

　　8.点 和 分别在 的边 和 上，点 和 将线段 分为三等分，直线 和 分别与边 相交于点 和 ，证明： .

　　9.已知P是 内一点，延长 分别交对边于 ，其中 ， ，且 ，求 之值.

　　10.过点P作四条射线与直线 分别交于 和 ，求证：

　　.

　　11.四边形 的两对对边的延长线分别交 ，过 作直线与对角线 的延长线分别 ，求证： .

　　12. 为 的重心，过 作直线交 于 ，求证： .

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