2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(8)

　　竞赛专题讲座08

　　-几何变换

　　【竞赛知识点拨】

　　一、 平移变换

　　1.　 定义 设 是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 = ，则T叫做沿有向线段 的平移变换。记为X X’，图形F F‘ 。

　　2.　 主要性质 在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行(共线)且相等。

　　二、 轴对称变换

　　1.　 定义 设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为X X’，图形F F‘ 。

　　2.　 主要性质 在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线(段)或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。

　　三、 旋转变换

　　1.　 定义 设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O(不动点)，而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为X X‘，图形F F’ 。

　　其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向;α>0时，为逆时针方向。

　　2. 主要性质 在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。

　　四、 位似变换

　　1.　 定义 设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得 =k· ，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为X X’，图形F F‘ 。

　　其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似;k<0时, X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。

　　2.　 主要性质 在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线;一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线;对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方;不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线;任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变;圆变为圆，且两圆心为对应点;两对应圆相切时切点为位似中心。

　　【竞赛例题剖析】

　　【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。

　　求证：∠PBA=∠PDA。

　　【分析】作变换△ABP △DCP’，

　　则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ AD BC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。

　　∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。

　　【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。

　　求证：S△AOB‘+S△BOC’+S△COA‘< 。

　　【分析】作变换△A’OC △AQR‘，△BOC’ △B‘PR’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。

　　∴S△AOB’+S△BOC‘+S△COA’

　　【分析】取AC、BD的中点E、F，令AC A‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。

　　∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。

　　∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。

　　同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。

　　故当四边形为平行四边形时，周长最小。

　　【评注】当已知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。

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