2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(10)

竞赛讲座10

　　--抽屉原则

　　大家知道，两个抽屉要放置三只苹果，那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里，更一般地说，只要被放置的苹果数比抽屉数目大，就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉，可不要小看这一简单事实，它包含着一个重要而又十分基本的原则——抽屉原则.

　　1. 抽屉原则有几种最常见的形式

　　原则1 如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体：

　　原则本身十分浅显，为了加深对它的认识，我们还是运用反证法给予证明;如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能.

　　原则虽简单.巧妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感到无从下手的总是，比如说，我们可以断言在我国至少有两个人出生的时间相差不超过4秒钟，这是个惊人的结论，该是经过很多人的艰苦劳动，统计所得的吧!不，只须我们稍动手算一下：

　　不妨假设人的寿命不超过4万天(约110岁，超过这个年龄数的人为数甚少)，则

　　10亿人口安排在8亿6千4百万个“抽屉”里，根据原则1，即知结论成立.

　　下面我们再举一个例子：

　　例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.

　　解 从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：

　　(兔、兔)，(兔、熊猫)，(兔、长颈鹿)，(熊猫、熊猫)，(熊猫、长颈鹿)，(长颈鹿、长颈鹿)

　　把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原则1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同.

　　原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能.

　　原则1可看作原则2的物例(m=1)

　　例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色)，证明正方体一定有三个面颜色相同.

　　证明把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原则二，至少有三个面涂上相同的颜色.

　　例3 把1到10的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在在个相邻的数，它们的和数大于17.

　　证明 如图12-1，设a1，a2，a3，…，a9，a10分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，三个相邻的数的组成是(a1，a2，a3)，(a2，a3，a4)，(a3，a4，a5)，…,(a9，a10，a1),(a10，a1，a2)共十组.现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5，…a9+a10+a1，a10+a1+a2,由于

　　(a1+a2+a3)+(a2+a3+a4)+…+(a9+a10+a1)+(a10+a1+a2)

　　=3(a1+a2+…+a9+a10)

　　=3×(1+2+…+9+10)

　　根据原则2,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17.

　　原则1、原则2可归结到期更一般形式：

　　原则3把m1+m2+…+mn+k(k≥1)个物体放入n个抽屉里，那么或在第一个抽屉里至少放入m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入mn+1个物体.

　　证明假定第一个抽屉放入物体的数不超过m1个，第二个抽屉放入物体的数不超过m2个，……，第n个抽屉放入物体的个数不超过mn，那么放入所有抽屉的物体总数不超过m1+m2+…+mn个，与题设矛盾.

　　例4 有红袜2双，白袜3双，黑袜4双，黄袜5双，蓝袜6双(每双袜子包装在一起)若取出9双，证明其中必有黑袜或黄袜2双.

　　证明 除可能取出红袜、白袜3双外.还至少从其它三种颜色的袜子里取出4双，根据原理3，必在黑袜或黄袜、蓝袜里取2双.

　　上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.

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