2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(10)

　　2. 制造抽屉是运用原则的一大关键

　　首先要指出的是，对于同一问题，常可依据情况，从不同角度设计抽屉，从而导致不同的制造抽屉的方式.

　　例5 在边长为1的正方形内，任意给定13个点，试证：其中必有4个点，以此4点为顶点的四边开面积不超过 (假定四点在一直线上构成面积为零的四边形).

　　证明如图12-2把正方形分成四个相同的小正方形.

　　因13=3×4+1，根据原则2，总有4点落在同一个小正方形内(或边界上)，以此4点为顶点的四边形的面积不超过小正方形的面积，也就不超过整个正方形面积的 .

　　事实上，由于解决问题的核心在于将正方形分割成四个面积相等的部分，所以还可以把正方形按图12-3(此处无图)所示的形式分割.

　　合理地制造抽屉必须建立在充分考虑问题自身特点的基础上.

　　例6 在一条笔直的马路旁种树，从起点起，每隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数(以米为单位)，这是为什么?

　　解如图12-4(设挂牌的三棵树依次为A、B、C.AB=a，BC=b，若a、b中有一为偶数，命题得证.否则a、b均为奇数，则AC=a+b为偶数，命题得证.

　　下面我们换一个角度考虑：给每棵树上编上号，于是两棵树之间的距离就是号码差，由于树的号码只能为奇数和偶数两类，那么挂牌的三棵树号码至少有两个同为奇数或偶数，它们的差必为偶数，问题得证.

　　后一证明十分巧妙，通过编号码，将两树间距离转化为号码差.这种转化的思想方法是一种非常重要的数学方法

　　例7 从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，，它们中的一个是另一个的倍数.

　　分析设法制造抽屉：(1)不超过50个;(2)每个抽屉的里的数(除仅有的一个外)，其中一个数是另一个数的倍数，一个自然数的想法是从数的质因数表示形式入手.

　　解设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26;

　　第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25;

　　第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24;

　　………………

　　第二十五个抽屉里放进数：49，49×2;

　　第二十六个抽屉里放进数：51.

　　………………

　　第五十个抽屉里放进数：99.

　　那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.

　　制造抽屉并非总是一帆风顺的，有时要边制造边调整、改进.

　　例8 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数.

　　分析注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数.

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