2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(12)

　　2.一个图形F能否被覆盖，与图形中任意两点间的距离最大值d密切相关.

　　以下我们称图形F中任意两点间的距离最大值d为图形F的直径.

　　我们继续研究多个圆覆盖一个图形问题.

　　定义 对于图形G1，G2，…，Gn，若图形F中的每一点都被这组图形中的某个所覆盖，则称这几个图形覆盖图形F.

　　图形G1，G2，…，Gn为n个圆是一特殊情形.

　　例4 以ABCD的边为直径向平行四边形内作四个半圆，证明这四个半圆一定覆盖整个平行四边形.

　　分析1 ABCD的每一点至少被某个半圆所盖住.

　　证明1 用反证法.如图45-4设存在一点P在以AB、BC、CD、DA为直径的圆外，根据定理二，∠APB，∠BPC，∠CPD∠DPA均小于90°，从而

　　∠APB+∠BPC+∠CPD+∠DPA<360°.

　　与四角和应为周角相矛盾.故P应被其中一半圆盖住，即所作四个半圆覆盖ABCD.

　　分析2 划片包干，如图45-5，将ABCD分为若干部分，使每一部分分别都被上述四个半圆所覆盖.

　　证明2 在ABCD中，如图45-5，设AC≥BD.分别过B、D引垂线BE、DF垂直AC，交AC于E、F，将ABCD分成四个直角三角形，△ABE、△BCE、△CDF、△DAF.每一个直角三角形恰好被一半圆所覆盖，从而整个四边形被四个半圆所覆盖.

　　上述结论可推广到任意四边形，留给读者考虑.

　　例5 求证：一个直径为1的圆不能被两个直径小于1的圆所覆盖.

　　证明 如图45-6，先考虑其中一个小圆即⊙O1去覆盖大圆O，连O1、O过O作AB⊥O1O，AB为⊙O的直径(若O1、O重合，那么AB为任意直径)此时

　　故A、B两点都不能被⊙O1盖住.至于另一小圆⊙O2无疑不能同时盖住A、B两点，故⊙O1、⊙O2不能覆盖⊙O.

　　事实上，我们还可以从另一角度给予证明.那就是一个小圆无法覆盖半个大圆，因此两个小圆也就不可能覆盖住整个大圆了.

　　现在，我们着手研究本文一开始就提出的问题.

　　例6 给定一个半径为1的圆，若用半径为 的圆去覆盖它，问至少要几个才能盖住.

　　问题需要我们在二个方面给予回答：一是所确定数目的小圆足以覆盖大圆;二是少于确定的数目，则全部小圆不能覆盖大圆.

　　对于不能覆盖的推断，以下两个原则是常用的：

　　原则1 若图形F的面积大于图形G的面积，则图形G不能覆盖图形F.

　　原则2 直径为d的图形F不能被直径小于d的图形G所覆盖.

　　两原则十分显然，不再证明.

　　四个半径为 的小圆面积和为π，恰等于大圆面积，而四小圆间若不重迭，则覆盖其它图形时，还须排除中间所夹的不属于四圆的部分，换句话说，四小圆所覆盖大圆部分面积必小于大圆自身面积，根据法则1，不可能覆盖大圆，少于四个小圆更不可能.

　　若有五个小圆，我们改变角度考虑，可将大圆周分为六等分.因小圆直径为1，五个小圆无法盖住大圆周，而六个圆周恰好盖住.

　　还需考虑大圆圆心没有被盖住，再添加一个小圆，符合要求!

　　这说明：至少七个以 为半径的小圆方能覆覆盖半径为1的一个大圆.事实上这样的六个小圆若盖住大圆周，则大圆心不能被覆盖.若其中一小圆盖住大圆圆心，那么该圆又至多盖住大圆周上一点也就是六个小圆无法覆盖大圆，而我们作大圆的内接正六边形，分别将小圆圆心与各边中点重合，再将第七个小圆圆心与大圆圆心重合即可盖住大圆，如图45-7，以下给出证明：

　　对于正△OAB，设OA、OB中点A1、B1，那么∠AA1B=∠AB1B=90°，故四边形AA1B1B被以AB为直径的圆覆盖.另外，△OA1B1被小圆⊙O所覆盖.类似地可推得七个小圆覆盖整个大圆.

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