2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(12)

　　3.直线形图形覆盖别的图形的问题

　　解决直线形图形覆盖别的图形的问题，常须较高的智巧，一般的处理方法是通过构造过渡图形，逐步调整，最终获得问题的解决.

　　例7 证明直径为1的图形F可被单位正方形覆盖.

　　分析 先后用互相垂直的两对平行线将图形夹在中间，再向内收缩.

　　证明 取位于水平方向和铅直方向的两对平行直线将图形F夹在中间，再将位于下方的直线l2向上平移，直至遇到图形F上点为止，中图45-8中l2′处.接着又将l1向下平移至与l2′相距为1的l1′处止.因图形F直径为1.故图形F仍被二直线l1′，l2′所夹.同样采用先左后右的顺序，将沿直线m1、m2平移至m1′、m2′处，m1′、m2′相距为1，而图形F依然夹在直线m1′，m2′中间，从而直线l1′、l2′、m1′、m2′所围成单位正方形即可覆盖图形F.

　　运用上述方法，我们可进一步解决以下问题：

　　例8 直径为1的图形F可被一个边长为 的正三角形覆盖，试证明之.

　　证明 作三对相距为1的平行直线m1、m2、n1、n2，l1、l2，相交直线所成角为60°，围成可覆盖图形F的六边形及正△A1B1C1，正△A2B2C2(具体作法可参照例7).如图45-9.设P为F中任意一点，它到六边形各边距离依次为x、a、y、b、z、c.又设正△A1B1C1的高为h1，正△A­2B2C2的高为h2.因正三角形内一点到三边距离和等于正三角形的高，得

　　a+b+c=h1，

　　x+y+z=h2.

　　相加,得

　　(x+b)+(y+c)+(z+a)=h1+h2，

　　又x+b=1，y+c=1，z+a=1，

　　∴h1+h2=3.

　　根据抽屉原则,h1、h2中有一不大于 ,不妨设 ,即正△A1B1C1的高不大于 ,那么它的边长

　　因此图形F可被边长不大于 的正三角形即正△A1B1C1所覆盖.

　　4.图形的嵌入是覆盖问题的一种重要变化形式

　　所谓图形F能嵌入图形G,其本质就是图形G能覆盖图形F.

　　例9试证面积为S、周长为P的四边形一定可嵌入一个半径为 的圆.

　　分析 四边形内存在到各边距离不小于 的点.

　　证明 如图45-10,设四边形ABCD面积为S,周长为P.各边长分别为a1、a2、a3、a4.现以a1、a2、a3、a4为长, 为宽,向四边形内侧作矩形,则这些矩形总面积是

　　即四个矩形面积总和等于四边形面积.由于这四个矩形有重迭部分,所以四边形内部存在点O没有被矩形覆盖,那么以点O为圆心, 为半径的圆可嵌入四边形ABCD中.

　　例10 在一个半径等于18的圆中已嵌入16个半径为3的圆.证明在余下的部分中还能嵌入9个半径为1的圆.

　　证明 首先证明大圆中还能嵌入1个半径为1的小圆.先将大圆的半径收缩为17,而将半径为3的圆膨胀成半径为4的圆,此时大圆面积变为

　　π×172=289π.

　　16个半径为4的圆的面积是

　　π×42×16=256π.

　　289π-256π=33π.

　　这说明大圆中嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入半径为1的一个小圆,如图45-11所示.

　　再将大圆的半径收缩为17,半径为3的圆的半径膨胀为4,半径为1的圆膨胀为2,由于

　　289π-256π-4π=29π,所以大圆中除嵌入16个半径为3的圆外,还能嵌入两个半径为1的圆.依此类推,由于289π-256π-4π×8=π>0,

　　故大圆还可嵌入九个半径为1的小圆.

　　将图形收缩、膨胀是解嵌入问题一种重要方法.

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