竞赛讲座13
-平面三角
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.
【例1】 求函数y=2sin( -2x)的单调增区间。
解:y=2sin( -2x)= 2sin(2x+ )。
由2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,
得kπ- ≤x≤kπ- ,k∈Z。
即原函数的单调增区间为:[kπ- ,kπ- ](k∈Z)。
【例2】 若φ∈(0, ),比较sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ这三者之间的大小。
解:∵在(0, )中,sinx ∵在(0, )中,y=cosx单调递减,∴cosφ< cos(sinφ)。 ∴sin(cosφ)< cosφ< cos(sinφ)。 【例3】 已知x,y∈[- , ],a∈R,且 。求cos(x+2y)的值。 解:原方程组化为 。 ∵x,-2y∈[- , ],函数f(t)=t3+sint在[- , ]上单调递增,且f(x)=f(-2y) ∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。 【例4】 求证:在区间(0, )内存在唯一的两个数c、d(c 证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0, ]内是单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f( )=cos(sin )- = cos 1- <0, ∴存在唯一的d∈(0, ),使f(d)=0,即cos(sind)= d. 对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。 显然c∈(0, )。且由y=sinx在(0, )上的单调性和d的唯一性,知c也唯一。 故存在唯一的c 【例5】 α、β、γ∈(0, ),且ctgα=α,sin(ctgβ)=β,ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。 解:∵α、β、γ∈(0, ),∴ctgβ>0,0< sinγ<γ< 。 ∴β=sin(ctgβ)< ctgβ,γ=ctg(sinγ)> ctgγ。 作出函数y=ctgx在(0, )上的图象,可看出:β<α<γ。 【例6】 n∈N,n≥2,求证:cos ·cos · ··· ·cos > 。 证明:∵0< < <···< < <1, ∴0 ∴(cos ·cos · ··· ·cos )2>( · )·( · )·( · )···( · ) = · > >( )2, ∴cos ·cos · ··· ·cos > 。
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