2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(16)

竞赛讲座16

　　-不等式

　　不等式是数学竞赛的热点之一。由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题(特别是有关不等式的证明)在数学竞赛中显得尤为重要。

　　证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

　　一、不等式证明的基本方法

　　1.比较法

　　比较法可分为差值比较法和商值比较法。

　　(1)差值比较法

　　原理　 A- B>0 A>B.

　　【例1】(l)m、n是奇偶性相同的自然数，求证：

　　(am+bm)(an+bn)<2(am+n+bm+n)。

　　(2)证明： · · ≤ 。

　　【例2】设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，j1,j2,…,jn是1,2,…,n的任意一个排列，令

　　S=a1 + a2 +…+ an ，S0=a1bn+a2bn-1+…+anb1，S1=a1b1+a2b2+…+anbn。

　　求证：S0≤S≤S1。

　　(2)商值比较法

　　原理　若 >1，且B>0，则A>B。

　　【例3】已知a,b,c>0，求证：a2ab2bc2c≥ab+cbc+aca+b。

　　2.分析法

　　【例4】若x,y>0，求证： > 。

　　【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

　　3.综合法

　　【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

　　【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC= ，a,b,c是△ABC的三边长，令

　　S= ，t= 。

　　求证：t>S。

　　4.反证法

　　【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。

　　5.数学归纳法

　　【例9】证明对任意自然数n， 。

　　二、不等式证明的若干技巧

　　无论用什么方法来证明不等式，都需要对数学表达式进行适当的变形。这种变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口。

　　1. 变形技巧

　　【例1】若n∈N，S= + +···+ ，

　　求证：n

　　【例2】(1)若A、B、C∈[0，π]，求证：

　　sinA+sinB+sinC≤3sin 。

　　(2)△ABC的三内角平分线分别交其外接圆于A‘,B’,C‘，求证：S△ABC≤S△A’B‘C’。

　　2. 引入参变量

　　【例3】将一块尺寸为48×70的矩形铁皮剪去四角小正方形后折成一个无盖长方体铁盒，求铁盒的最大容积。

　　【例4】在△ABC中，求证：a2+b2+c2≥4 △+(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。

　　其中，a,b,c是△ABC的三边长，△= S△ABC。

　　3. 数形结合、构造

　　【例5】证明： ≤ 。

　　4. 递推

　　【例6】已知：x1= ，x2= ，···，xn= 。求证： 。

　　三、放缩法

　　【例1】若n∈N，n≥2，求证： 。

　　【例2】α、β都是锐角，求证： ≥9。

　　【例3】已知：a1≥1，a1 a2≥1，···，a1 a2···an≥1，求证：

　　。

　　【例4】S=1+ + +···+ ，求S的整数部分[S]。

　　【例5】设a0=5，an=an-1+ ，n=1,2,···。求证：45

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