2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(17)

竞赛讲座17

　　-数学归纳法

　　基础知识

　　数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法.在数学竞赛中占有很重要的地位.

　　1.数学归纳法的基本形式

　　(1)第一数学归纳法

　　设 是一个与正整数有关的命题，如果

　　①当 ( )时， 成立;

　　②假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立.

　　(2)第二数学归纳法

　　设 是一个与正整数有关的命题，如果

　　①当 ( )时， 成立;

　　②假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立.

　　2.数学归纳法的其他形式

　　(1)跳跃数学归纳法

　　①当 时， 成立，

　　②假设 时 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据①②对一切正整数 时， 成立.

　　(2)反向数学归纳法

　　设 是一个与正整数有关的命题，如果

　　① 对无限多个正整数 成立;

　　②假设 时，命题 成立，则当 时命题 也成立，那么根据①②对一切正整数 时， 成立.

　　3.应用数学归纳法的技巧

　　(1)起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数 都成立，但命题本身对 也成立，而且验证起来比验证 时容易，因此用验证 成立代替验证 ，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以.因而为了便于起步，有意前移起点.

　　(2)起点增多：有些命题在由 向 跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点.

　　(3)加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多.

　　(4)选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设 时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用.

　　(5)变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明.

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