2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(19)

竞赛讲座19

　　-排列、组合、二项式定理

　　基础知识

　　1.排列组合题的求解策略

　　(1)排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略.

　　(2)分类与分步

　　有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理.

　　(3)对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数.

　　(4)插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间.

　　(5)捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列.

　　(6)隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型.如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为 ，这也就是方程 的正整数解的个数.

　　2.圆排列

　　(1)由 的 个元素中，每次取出 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列(或叫环状排列).

　　(2)圆排列有三个特点：(i)无头无尾;(ii)按照同一方向转换后仍是同一排列;(iii)两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列.

　　(3)定理：在 的 个元素中，每次取出 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为 .

　　3.可重排列

　　允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列.

　　在 个不同的元素中，每次取出 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第 位是的选取元素的方法都是 种，所以从 个不同的元素中，每次取出 个元素的可重复的排列数为 .

　　4.不尽相异元素的全排列

　　如果 个元素中，有 个元素相同，又有 个元素相同，…，又有 个元素相同( )，这 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 个元素的全排列，它的排列数是 5.可重组合

　　(1)从 个元素，每次取出 个元素，允许所取的元素重复出现 次的组合叫从 个元素取出 个有重复的组合.

　　(2)定理：从 个元素每次取出 个元素有重复的组合数为： .

　　6.二项式定理

　　(1)二项式定理 ( ).

　　(2)二项开展式共有 项.

　　(3) ( )叫做二项开展式的通项，这是开展式的第 项.

　　(4)二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等.

　　(5)如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项的二项式系数 最大;如果 是奇数，则中间两项的二项式系数 与 最大.

　　(6)二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即

　　7.数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法

　　二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟.

　　(1)利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式;

　　(2)处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合;

　　(3)求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩;

　　(4)综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决.

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