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2011年中招考试:《初中数学》竞赛讲座(21)

来源:考试吧(Exam8.com) 2011-2-23 11:35:10 要考试,上考试吧! 万题库
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竞赛讲座21

  -应用题选讲

  应用题联系实际,生动地反映了现实世界的数量关系,能否从具体问题中归纳出数量关系,反映了一个人分析问题、解决问题的实际能力.

  列方程解应用题,一般应有审题、设未知元、列解方程、检验、作结论等几个步骤.下面从几个不同的侧面选讲一部分竞赛题,从中体现解应用题的技能和技巧.

  1.合理选择未知元

  例1 (1983年青岛市初中数学竞赛题)某人骑自行车从A地先以每小时12千米的速度下坡后,以每小时9千米的速度走平路到B地,共用55分钟.回来时,他以每小时8千米的速度通过平路后,以每小时4千米的速度上坡,从B地到A地共用 小时,求A、B两地相距多少千米?

  解法1 (选间接元)设坡路长x千米,则下坡需 依题意列方程:

  解之,得x=3.

  答:A、B两地相距9千米.

  解法2(选直接元辅以间接元)设坡路长为x千米,A、B两地相距y千米,则有如下方程组

  解法3(选间接元)设下坡需x小时,上坡需y小时,依题意列方程组:

  例2 (1972年美国中学数学竞赛题)若一商人进货价便谊8%,而售价保持不变,那么他的利润(按进货价而定)可由目前的x%增加到(x+10)%,x等于多少?

  解 本题若用直接元x列方程十分不易,可引入辅助元进货价M,则0.92M是打折扣的价格,x是利润,以百分比表示,那么写出售货价(固定不变)的等式,可得:

  M(1+0.01x)=0.92M[1+0.01(x+10)].

  约去M,得

  1+0.01x=0.92[1+01.1(x+10)].

  解之,得 x=15.

  例3 在三点和四点之间,时钟上的分针和时针在什么时候重合?

  分析 选直接元,设两针在3点x分钟时重合,则这时分针旋转了x分格,时针旋转了(x-15)分析,因为分针旋转的速度是每分钟1分格,旋转x分格需要 分钟,时针旋转的速度是每分钟 分格,旋转(x-15)分格要 例4(1985年江苏东台初中数学竞赛题)从两个重为m千克和n千克,且含铜百分数不同的合金上,切下重量相等的两块,把所切下的每一块和另一种剩余的合金加在一起熔炼后,两者的含铜百分数相等,问切下的重量是多少千克?

  解 采用直接元并辅以间接元,设切下的重量为x千克,并设m千克的铜合金中含铜百分数为q1,n千克的铜合金中含铜百分数为q2,则切下的两块中分别含铜xq1千克和xq2千克,混合熔炼后所得的两块合金中分别含铜[xq1+(n-x)q2]千克和[xq2+(m-x)q1]千克,依题意,有:

  2.多元方程和多元方程组

  例5 (1986年扬州市初一数学竞赛题)A、B、C三人各有豆若干粒,要求互相赠送,先由A给B、C,所给的豆数等于B、C原来各有的豆数,依同法再由B给A、C现有豆数,后由C给A、B现有豆数,互送后每人恰好各有64粒,问原来三人各有豆多少粒?

  解 设A、B、C三人原来各有x、y、z粒豆,可列出下表:

  则有: 解得:x=104,y=56,z=32.

  答:原来A有豆104粒,B有56粒,C有32粒.

  例6(1985年宁波市初中数学竞赛题)某工厂有九个车间,每个车间原有一样多的成品,每个车间每天能生产一样多的成品,而每个检验员检验的速度也一样快,A组8个检验员在两天之间将两个车间的所有成品(所有成品指原有的和后来生产的成品)检验完毕后,再去检验另两个车间的所有成品,又用了三天检验完毕,在此五天内,B组的检验员也检验完毕余下的五个车间的所有成品,问B组有几个检验员?

  解 设每个车间原有成品x个,每天每个车间能生产y个成品;则一个车间生产两天的所有成品为(x+2y)个,一个车间生产5天的所有成品为(x+5y)个,由于A组的8个检验员每天的检验速度相等,可得

  解得:x=4y

  一个检验员一天的检验速度为:

  又因为B组所检验的是5个车间,这5个车间生产5天的所有成品为5(x+5y)个,而这5(x+5y)个成立要B组的人检验5天,所以B组的人一天能检验(x+5y)个.

  因为所有检验员的检验速度都相等,所以,(x+5y)个成品所需的检验员为:

  (人).

  答:B组有12个检验员.

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文章责编:魏超杰