2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(21)

　　4.应用题中的推理问题

　　竞赛中常见的应用题不一定是以求解的面目出现，而是一种逻辑推理型.解答这类题目不仅需要具备较强的分析综合能力，还要善于用准确简练的语言来表述自己正确的逻辑思维.

　　例10(1986年加拿大数学竞赛题)有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A、B、C参加，在每个项目中，第一、二、三名分别得p1、p2、p3分，其中p1、p2、p3为正整数且p1>p2>p3，最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一，求M的值，并问在跳高中谁取得第二名?

　　分析 考虑三个得的总分，有方程：

　　M(p1+p2+p3)=22+9+9=40, ①

　　又 p1+p2+p3≥1+2+3=6， ②

　　∴6M≤M(p1+p2+p3)=40，从而M≤6.

　　由题设知至少有百米和跳高两个项目，从而M≥2，

　　又M|40，所以M可取2、4、5.

　　考虑M=2，则只有跳高和百米，而B百米第一，但总分仅9分，故必有：9≥p1+p3,∴≤8，这样A不可能得22分.

　　若M=4，由B可知：9≥p1+3p3，又p3≥1，所以p1≤6,若p1≤5，那么四项最多得20分，A就不可能得22分，故p1=6.

　　∵4(p1+p2+p3)=40,∴p2+p3=4.

　　故有：p2=3,p3=1,A最多得三个第一，一个第二，一共得分3×6+3=21<22，矛盾.

　　若M=5，这时由5(p1+p2+p3)=40，得：

　　p1+p2+p3=8.若p3≥2，则：

　　p1+p2+p3≥4+3+2=9，矛盾，故p3=1.

　　又p1必须大于或等于5,否则,A五次最高只能得20分,与题设矛盾,所以p1≥5.

　　若p1≥6，则p2+p3≤2，这也与题设矛盾，∴p1=5，p2+p3=3，即p2=2，p3=1.

　　A=22=4×5+2.

　　故A得了四个第一，一个第二;

　　B=9=5+4×1，

　　故B得了一个第一，四个第三;

　　C=9=4×2+1，

　　故C得了四个第二，一个第三.

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