2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(22)

　　练 习

　　1.选择题

　　(1)在1到100之间若存在整数n,使x2+x-n能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的n有( )个

　　(A) 0 (B)1 (C)2 (D)9 (E)10

　　(2)二次多项式x2+2kx-3k2能被x-1整除,那么k值是( )

　　(A)1或

　　(B)-1或

　　(C)0 (D)1或-1

　　(3)如果100x2-kxy+49y2是一个完全平方式,那么k=( )

　　(A)4900 (B)9800 (C)140 (D)70

　　2.填空

　　(1)多项式6x2+mxy-3y2+3x+10y-3能分解成关于x、y的一次多项式,则m=____.

　　(2)已知x2+x-1=0,则x3+2x2+1985=____.

　　3.(1)分解因式a2-b2+4a+2b+3

　　(2)分解因式(x2+x+1)(x2+x+2)-12.

　　4.(1)分解因式a3b-ab3+a2+b2+1

　　(2)(1989年广州等五市联赛)分解因式(x+y)(x-y)+4(y-1).

　　5.(1986年全国初中数学知识竞赛)分解因式(x+y)3+2xy(1-x-y)-1.

　　6.证明是合数.

　　7.分解因式(x+y)3-x3-y3+3xy.

　　8.分解因式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc.

　　9.(1986年五城市联赛试题)若a为自然数，则a4-3a2+9是质数，还是合数?给出你的证明.

　　10.(1985年北京市初中数学竞赛题)若a为自然数，证明

　　10|(a1985-a1949).

　　练习

　　1.D.A.C.

　　2.(1)m=7.(2)1986

　　3.(1)(a+b+1)(a-b+3).

　　(2)(x+2)(x-1)(x2+x+5)

　　4.(1)(a2-ab+1)(ab+b2+1)

　　(2)(x-y+2)(x+y-2)

　　5.(x+y-1)(x2+y2+x+y+1).

　　6.A=101986+1=(10662)8+1=…分角为两因数之积，且两因数均大于1即可得证.

　　7.原式=(x+y)3-(x3+y3)+3xy=…=3xy(x+y+1).

　　8.(a+b)(b+c)(c+a).

　　9.原式=(a2-3a+3)(a2+3a+3).

　　再讨论：a=1或2时，知为质数，a>2为合数.

　　10.∵a1985-a1949=a1949(a2+1)(a4-a2+1)(a12-a6+1)(a+1)(a2-a+1)(a6-a3+1)(a6+a3+1)(a2+a+1)(a-1).当a的个位数字分别为0～9时,上式右端总含有因数2和5,

　　∴10|(a1985-a1949).

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