2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(34)

一次方程与一次不等式

　　1.一次方程(组)

　　一次方程(组)是最简单的方程，是进一步研究函数、方程、不等式等的基础，先看一个含字母系数的一元一次方程的讨论.

　　例1(第36届美国中学数学竞赛题)设a，a'b，b'是实数，且a和a'不为零，当且仅当( )时，ax+b=0的解小于a'x+b'=0的解.

　　(A)a'b

　　(D) (E) 解 ∵a≠0,∴ax+b=0的解是 ，

　　∵a'≠0,∴a'x+b'=0的解是 ，

　　根据题意得 .

　　故应选(E).

　　例2 (第4届美国数学邀请赛试题)若x1,x2,x3,x4和x5满足下列方程组：

　　①

　　②③④⑤

　　确定3x4+2x5的值.

　　解 将已知的五个方程加起来，然后，把所得方程的两边除以6得

　　x1+x2+x3+x4+x5=31, (*)

　　由第4、第5个方程分别减去方程(*)，得

　　x4=17, x5=65,

　　∴ 3x4+2x5=181

　　说明，上面解答所提供的用31代换x1+x2+x3+x4+x5的整体代换方法是一种重要的解题策略.

　　例3(1982年天津初中数学竞赛题)已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a值它都能使方程成立吗?

　　分析 依题意，即要证明存在一组与a无关的x，y的值，使等式(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a取两个特殊值(如a=1或a=-2)，可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证，

　　我们也可以这样想：将原方程整理成为形如

　　a(x+y-2)+(-x+2y+5)=0

　　将原方程转化为关于字母a的一元一次方程，由题知该方程对a取任意值成立必须且只须

　　x+y-2=0,同时-x+2y+5=0.

　　联立以上两方程易得原方程的解.

　　以上所提出的两种解法将在本书的其它部分有更详细的讲述.

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