2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(34)

　　2.一次不等式

　　解一元一次不等式主要依据下列不等式的性质：

　　(1)不等式的两边加上(或减去)同一个实数，所得不等式与原不等式同向;

　　(2)不等式两边乘以(或除以)同一个正数，所得不等式与原不等式同向;

　　(3)不等式两边乘以(或除以)同一个负数，所得不等式与原不等式反向.

　　例4(上海1989年初二竞赛题)如果关于x的不等式(2a-b)x+a-5b>0的解为 ，那么关于x的不等式ax>b的解是多少?

　　分析由(2a-b)x+a-5b>0可得(2a-b)x>5b-a,注意到题目已给出的解得知仅当2a-b<0时，有

　　.故，对不等式ax>b,当a>0时，x> ,a<0,x> 例5(1973年加拿大中学生竞赛题)求满足|x+3|-|x-1|=x+1的一切实数解.

　　分析 解绝对值方程的关键是去绝对值符号，令x+3=0,x-1=0，分别得x=-3,x=1,-3,1将全部实数分成3段：x<-3或-3≤x<1或x≥1，然后在每一段上去绝对值符号解方程，例如，当x<-3时，|x+3|=-x-3,|x-1|=1-x,故方程化为-x-3+x-1=x+1，∴x=-5，x=-5满足x<-3，故是原方程的一个解，求出每一段上的解，将它们合并，便得到原方程的全部解，这种方法叫做“零点”分段法，x=-3，x=1叫做零点.

　　例6(1978年上海竞赛题)解绝对值不等式|x-5|-|2x+3|<1.

　　解 令x-5=0,或2x=3=0,得x=5,或x= ,它们将实数分成三部分，如图4-1(此处无图).

　　原不等式的解由下面三个不等式组的解的全体组成：

　　(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 由(Ⅰ)得x<-7;由(Ⅱ)得 .

　　例7(1978年广东数学竞赛试题)不等式|x|+|y|<100的整数解有多少组(x≠y)?

　　解 |x|+|y|<100，∴0≤|x|≤99，0≤|y|≤99，故x、y分别可取-99到99之间的199个整数，且x≠y，现将所有可能的情况列有如下：(此处无表)

　　故满足不等式|x|+|y|<100且x≠y的整数解组数为：

　　198+2(1+3+…+99)+2(100+102+…+196)=198+ =198+100×50+296×49=19702(组).

　　若有依次排列着的一列数，每后一个数与它前面一个数的差总等于一个常数，我们称这一列数形成一个等差数列，依据这一概念我们来解答下面这个题目.

　　例8(1988年日本大学入学试题)设有满足1

　　解由条件知其两两之和为六个数，且有关系式

　　1+a<1+b<1+c; a+b

　　1+b

　　根据1+ c和a+b的大小关系可分为两种情况：

　　i)1+a<1+b<1+c

　　ii)1+a<1+b

　　在i)情况下，由等差数列性质知

　　(b+c)-(a+c)=(a+c)-(a+b)

　　=(c+b)-(1+c)

　　设公差为k，即

　　b-a=c-b=a+b-c-1=k从而有b=a+k c=b+k=a+2k 代入a+b-c-1=k中，得

　　a+a+k-a-2k-1=k

　　于是a=2k+1 b=3k+1 c=4k+1

　　又因为六个数之和为201，所以

　　3(a+b+c+1)=201 a+b+c=66

　　即(2k+1)+(3k+1)+(4k+1)=66 k=7

　　∴a=15 b=22 c=29

　　类似地在ii)情况下可解得

　　a=10 b=19 c=37

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