2013中考数学：例说“图形与变换”

　　“图形与变换”主要包括图形的翻折(轴对称) 、图形的平移、图形的旋转三个部分。不同的变换下图形与图形之间具有不同的性质，而这些基本图形和基本性质及其灵活应用对于合理的推理和成功解题起着至关重要的作用。这部分内容恰又是天津市中考[微博]的热点和难点。下面就以几道“图形与变换”中翻折的典型例题来说明这部分内容的特点和学习方法，以供大家参考。

　　南开中学 张常军

　　例1.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折叠，当D′F⊥CD时，■的值为

　　A. ■

　　B.■

　　C.■

　　D. ■

　　分析：在翻折变换后得到全等图形的基础上，本题考查的是△FMC和△BD'M两个基本图形，其中△FMC为30°、60°、90°的基本图形，三边的比为1：■：2;△BD'M是30°、30°、120°的基本图形，三边的比为1：1：■。再利用FD=FD' 找到FC和FD的关系得知本题选A。

　　例2.如图，在正方形纸片ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开。则下列结论中：①CM=DM;②∠ABN=30°;③AB2=3CM2;④△PMN是等边三角形。正确的有 A.1个 B.2个

　　C.3个 D.4个

　　分析：在翻折变换后得到全等图形的基础上，本题考查的是△BNC为等边三角形的基本图形，这样分析②③④均为正确命题，故本题选C。

　　例3.已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11，0)、点B(0，6)、点P为BC边上的动点(点P不与点B、C重合)，经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP。设BP=t。

　　(Ⅰ)如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标;

　　(Ⅱ)如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m;

　　(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标(直接写出结果即可)。

　　图③

　　分析：本题第一问考查的是翻折之后的全等图形和△BOP为30°、60°、90°的基本图形，进而通过三边的比例关系(也可理解为特殊角的三角函数值)，由OB=6得到点P的坐标为(2■，6)。第二问则深入考查了同学们对题目进行深入挖掘的能力，由矩形条件下两次翻折的特点得到∠OPQ=90°,进而得到△BOP与△CPQ这组K字形相似的三角形，由相似三角形对应边成比例得到第二问的结果为m=■t2-■t+6(0<11)。而第三问还在深入挖掘图形隐含条件的基础上考查了同学们的绘图能力。如图③，由此图形得到△POC'为等腰三角形，发现C'A=BP=T，再由RT△AQC'中三边的关系利用勾股定理找到T与M的另一组关系，进而解出P的坐标为(■，6)或(■，6);或者由△PMC'与△C'AQ这组K字的相似三角形找到T与M的另一组关系，解出P的坐标也可以。< P>

　　图形变换考查

　　这几种能力

　　通过以上三个典型例题我们不难发现，要想顺利解出变换类的题目，首先要对基本图形的基本性质非常熟悉，在此基础上利用不同变换下图形与图形的关系深入挖掘图形性质，以相似、特殊角的三角函数值和勾股定理为媒介找到相应的数量关系方可迎刃而解。而这其中考查了几个能力：图形的基础知识及其灵活运用，对方程的理解能力，较高的绘图能力，动态点的感知能力。现在首先要熟悉基本图形的基本性质，如我们刚刚提到的“30°、60°、90°的三角形性质”;“30°、30°、120°的三角形性质”;“45°、45°、90°的三角形性质”;“K字形的相似三角形”等。同时要对审题时的敏感词提起重视，比如“直线”、“射线”、“线段”、“坐标轴上”等语句，语句不同，运动的分类情况也不同，进而导致解的个数不同。

　　另外一定的绘图能力也是平时就应该培养的，要敢于根据变换的不同绘出应得的图形。平时多体会，多练习，不要完全依靠老师，老师讲我才听的做法是不可取的。提示大家多读几遍题目，深入挖掘题目隐含的已知条件也是成功解题必不可少的能力。

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