公务员考试数量关系之容斥问题解题原理及方法

　　二、例题分析：

　　例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。

　　分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。

　　解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10

　　B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6

　　A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3

　　所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。

　　解2：本题可直观地用图示法解答

　　如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。

　　例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?

　　解：设A={数学成绩90分以上的学生}

　　B={语文成绩90分以上的学生}

　　那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，

　　∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38

　　现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得

　　∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8

　　点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。