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数学运算之数的分解与拆分专题
数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一,考察对数的基本特性的掌握,通常此类问题都比较灵活。一般来说此类问题整体难度不大,不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用,故掌握方法就变得特别重要。
1.分解因式型:就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数,还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。
【例1】三个质数的倒数之和为a/231 ,则a=( )
A.68 B.83 C.95 D.131
【解析】将231分解质因数得231=3×7×11,则 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ,故a=131。
【例2】 四个连续的自然数的积为3024,它们的和为( )
A.26 B.52 C.30 D.28
【解析】分解质因数:3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9,所以四个连续的四个自然数的和为6+7+8+9=30。
【例3】20^n是2001*2000*1999*1998*……*3*2*1的因数,自然数n最大可能是多少?
A 499 B500 C 498 D501
【解析】20^n=5*2*2的N次方,显然2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中,能分解出来的2个个数要远远大于5的个数,所以2001*2000*1999*1998*……*3*2*1中最多能分解多少个5也就是N的最大值,由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。
注:【】取整数部分。
2.已知某几个数的和,求积的最大值型:
基本原理:a2+b2≧2ab,(a,b都大于0,当且仅当a=b时取得等号)推 论:a+b=K(常数),且a,b都大于0,那么ab≦((a+b)/2)2,当且仅当a=b时取得等号。此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。
【例1】3个自然数之和为14,它们的的乘积的最大值为( )
A.42 B.84 C.100 D.120
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若使乘积最大,应把14拆分为5+5+4,则积的最大值为5×5×4=100。也就是说,当不能满足拆分的数相等的情况下,就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小,这样它们的乘积才能最大,这是做此类问题的指导思想。下面再举一列大家可以自己体会.
【例2】将17拆分成若干个自然数的和,这些自然数的乘积的最大值为( )A.256 B.486 C.556 D.376
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将17拆分为17=3+3+3+3+3+2时,其乘积最大,最大值为 ×2=486。
3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解问题。要求对排列组合有较深刻的理解,才能达到灵活运用的目的。
【例1】有多少种方法可以把100表示为(有顺序的)3个自然数之和?( )
A.4851 B.1000 C.256 D.10000
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插板法:100可以想象为100个1相加的形式,现在我们要把这100个1分成3份,那么就相等于在这100个1内部形成的99个空中,任意插入两个板,这样就把它们分成了三个部分。而从99个空任意选出两个空的选法有:C992=99×98/2=4851(种);故选A。
(注:此题没有考虑0已经划入自然数范畴,如果选项中出现把0考虑进去的选项,建议选择考虑0的那个选项。)
【例2】 学校准备了1152块正方形彩板,用它们拼成一个长方形,有多少种不同的拼法?
A.1152 B.384 C.28 D.12
【解析】本题实际上是想把1152分解成两个数的积。
1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36,故有12种不同的拼法。
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