文章责编：zhangguojuan
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在历年公考中，数学运算中有一类考题称为“构造问题”，这种问题的问法经常涉及到“最多”或者“最少”。在最近这几年的国考及联考中，这样的题目花样在不断的翻新，并且难度在加大。很多考生面临这样的题目，感觉无从下手，在考试的时候一看就直接放弃。造成这样的原因是因为对这样的题目归类不清晰，且解题的思路不明确，造成了对这一类题目的恐惧。下面首先要对这样的题目进行归类，再对每类题目逐一进行解答。
一、抽屉原理的构造问题
识别：有若干种不同的事物，从中至少抽出几个，才能保证在抽出的事物符合问题的要求。这类问题的识别往往不是靠“至少”去识别，而是靠“保证”这样的关键字。
解法：确定问题的要求(取N个)，运用最不利的原则，每种事物只取(N-1个)，某种事物不满足问题要求或者数量不够(N-1个)，则全取，把所有数量相加以后，再加1，即可。
【例题1】(浙江2007)一个袋内有100个球，其中有红球28个、绿球20个、黄球12个、蓝球20个、白球10个、黑球10个。现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求?( )
A. 78个 B. 77个
C. 75个 D. 68个
【答案】C
【解析】先确定目标“有15个球的颜色相同”。但是我们发现红色，绿色，蓝色能满足15个;黄色、白色、黑色不能满足15个。
运用最不利原则，能满足的取14个，则需要取14×3=42个，不能满足的，全部取完，需要12+10+10=32个，最后为42+32+1=75个，故答案为C。
二、数列型构造问题
识题：题目中有若干个雷同事物且数量的和为定值，求其中某一特定排名的量所对应的最大值或最小值。
解法：将问题中所需要的变量设为X，如果其为最大，则只需要让其它量最小即可;反之，要求X最小，则考虑其它量尽可能大，相加等于总量，解方程就可以得出结论。
【例题2】(北京2009)一次数学考试满分是100分，某班前六名同学的平均得分是95分，排名第六的同学的得分是86分，假如每人得分是互不相同的整数，那么排名第三的同学最少得多少分?
A. 94 B. 97
C. 95 D. 96
【答案】D
【解析】6个人总分为570分，排名第三要最少，则其他部分需要尽可能大。那么第一名为100，第二名为99。设第三名为X，第4，5名次需要尽可能大，设为x-1，x-2，根据题意列方程为：
100+99+x+x-1+x-2+86=570，解方程为x=96。故答案选D。
三、集合型构造问题
识题：在一个总集合里，包含有多个子集合，，每个子集合存在相同的两种相反的属性，求这些子集合一种属性在什么情况下总量最大。
解法：当需要求解某种属性之和最大问题，正面难以求解的情形下，我们可以求解这种属性的相反属性。再用总数减去反面的极值，就可以得到问题中的极值。
【例题3】(2010.9.18联考)某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】在这个问题中每个子集合都包含了喜欢与不喜欢这样的相反属性。问题要求的是四项都喜欢的和的极值，相对来说比较难求解，但是我们可以去求解每种活动不喜欢的人数，进行反面求解更加方便。不喜欢这四项活动的人数分别为46-35=11人，46-30=16人，46-38=8人，46-40=6人。有一种活动不喜欢一样的人数最多，则四个都喜欢的人数就最少。4个集合均无交集，不喜欢的人数就最多，为11+16+8+6=41人，所以四种活动都喜欢的人数最少为46-41=5人，答案选A[微软用户1] 。
四、几何型构造问题
识题：在集合问题中，问题中所求的线，面，体相关的属性的量为最大最小的问题。
解法：尽可能寻找所求的“线，面，体相关的属性的量”的区间范围，确定所求的最大最小问题的极端情况，根据几何问题的解法求解。
【例题4】(2010.4.24联考)将边长为1的正方体一刀切割为2个多面体，其表面积之和最大为：( )
A. 6+ B. 6+ C. 6+ D. 6+ 【答案】A
【解析】所求两个多面体的面积，只需要将立方体的外表面面积加上切割出现的面积即可。但是所求面积要最大，立方体外表面积不变，需要要让切割出现的面积最大即可。切割出现的面积最小为2个正方形的面积，最大的情形就是变长为1和 的长方形，面积为 。因此表面积最大为6+ 。答案为A。
这类问题几乎是国考、联考的必考题型，有的题目难度比较大，但是只要将题目分好类，掌握好每类题目的解题思路，这样的难题也就变得不再难。希望大家能熟练掌握这类问题的解决方法，在笔试中顺利通关!
