2014山东省公务员考试备考数字运算：数与代数

　　数与代数

　　“数与代数”主要包括数的性质、数的运算以及多项式的计算等内容。

　　在数学中，算术和数论这两门知识正是研究整数性质及其运算的，算术实际就是小学数学的主要内容，而数论则是研究整数性质的更深层的理论。著名数学家陈景润先生为之奋斗一生的哥德巴赫猜想正是数论的一个经典问题，因此数论也被称为“数学的王冠”。当然，本节主要以算术为主，如果有兴趣，看一看数论的相关内容对我们解题也是有帮助的。

　　算术方面，本节主要包括数的整除、平均数和多位数;而“代数”则是“用符号表示数”，本节主要包括式子运算，方程、函数与不等式以及特殊的函数——数列。

　　◎数的整除

　　我们知道，两个整数的和、差、积仍然是整数，但两个整数的商却未必是整数，由此便引出了整除的概念。实际上，质数与合数、余数、约数与倍数、奇数与偶数等概念均由整除概念而来。

　　一、余数

　　今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?

　　术曰：三三数之，剩二，置一百四十;五五数之，剩三，置六十三;七七数之，剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之，剩一，则置七十;五五数之，剩一，则置二十一;七七数之，剩一，则置十五。一百六以上，以一百五减之即得。

　　——《孙子算经》

　　《孙子算经》成书大约是一千五百余年以前。而上面的这个问题就是数论中的“剩余问题”，千年以后仍然是有关余数的最重要的题目。其解法被称为“中国剩余定理”。

　　关于剩余定理这里就不再详细解释了，下面我们将主要讲解公考中的余数问题及其对策。

　　公考中，余数问题主要包括基本余数问题、剩余问题两类问题。

　　(一)基本余数问题

　　余数基本恒等式：

　　被除数=除数×商+余数(0≤余数<除数)

　　(二)剩余问题

　　剩余问题核心口诀：

　　余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数做周期

　　余同取余，例如“一个数除以7余1，除以6余1，除以5余1”，可见所得余数恒为1，则取1，被除数的表达式为210n+1;

　　和同加和，例如“一个数除以7余1，除以6余2，除以5余3”，可见除数与余数的和相同，取此和8，被除数的表达式为210n+8;

　　差同减差，例如“一个数除以7余3，除以6余2，除以5余1”，可见除数与余数的差相同，取此差4，被除数的表达式为210n-4。

　　二、约数与倍数

　　约数与倍数问题的核心实际是最大公约数与最小公倍数。最大公约数与最小公倍数描述的是数与数之间的关系，在解题中常有应用。因此，掌握二者的求法是很必要的。

　　(一)约数问题

　　最大公约数的求法：

　　(1)分解质因数法：先分解质因数，然后取相同因数的乘积。

　　例如，2475=32×52×11，630=2×32×5×7，故2475与630的最大公约为32×5=45。

　　(2)短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数之积。

　　例如，

　　即2475与2310的最大公约数为3×5×11=165。

　　(3)辗转相除法：用较小的数去除较大的数，再用得到的余数去除较小的数，再用得到的余数去除第一个余数，依此类推，直到最后余数为0，此时的除数即是两数的最大公约数。

　　例如，

　　6315÷600=10……315

　　600÷315=1……285

　　315÷285=1……30

　　285÷30=9……15

　　30÷15=2

　　故6315与600的最大公约数为15。

　　(二)倍数问题

　　最小公倍数的求法：

　　(1)分解质因数法：先分解质因数，然后取所有不同底数的最高次幂的乘积。

　　例如，2100=22×3×52×7，990=2×32×5×11，故2100与990的最小公倍数为22×32×52×7×11=69300。

　　(2)短除法：从小到大依次求出两数的公约数，直至两商互质，然后取所有公约数与最后两商之积。

　　例如，

　　即2100与990的最小公倍数为2×3×5×70×33=69300。

　　三、奇数与偶数

　　全体整数按能否被2整除分为奇数和偶数。奇数和偶数的运算规律是公考题经常考查的知识点。

　　奇数和偶数的运算规律：

　　(1)加法和减法：

　　奇数±奇数=偶数

　　奇数±偶数=奇数

　　偶数±偶数=偶数

　　即“同奇同偶则为偶，一奇一偶则为奇”。

　　(2)乘法：

　　奇数×奇数=奇数

　　奇数×偶数=偶数

　　偶数×偶数=偶数

　　即“乘数有偶则为偶，乘数无偶则为奇”。

　　(3)任何一个奇数必不等于任何一个偶数。

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