2015年河南公务员行测：高频考点之容斥问题

　　容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，考生们需引起足够重视。对于容斥问题，考生只要认真读题就一定能够正确地解出此题。接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。

　　一、两者容斥的解法

　　对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：

　　1、将所有区域化为一层

　　2、画文氏图

　　容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：

　　例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?

　　A.6 B.7 C.8 D.9

　　解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：

　　第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：

　　A表示是奥运会自愿者

　　B表示是全运会志愿者

　　I表示是全班人数

　　X表示全运会且奥运会志愿者

　　Y表示非奥运会且非全运会志愿者

　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

　　I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。

　　结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)

　　二、三者容斥的解法

　　接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。

　　首先来看第一种三者容斥问题：

　　例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?

　　A、69 B、65 C、57 D、46

　　解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系

　　第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。

　　A表示看甲片的人

　　B表示看乙片的人

　　C表示看丙片的人

　　X表示看过甲乙丙三种片子的人

　　Y表示三部电影都没看过的人

　　I表示总共接受调查的人数

　　O、P、Q表示看过两部片子的人

　　第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-I=89+47+63-2×24+20-125=尾数是6

　　结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：

　　I=A+B+C-O-P-Q-2X+Y

　　(I表示全集，A、B、C代表三个集合，O、P、Q表示两个只有两层的区域，X表示三层的区域，Y代表圆之外的部分)

　　第二种三者容斥问题，即容斥极值问题：

　　①(A∩B) =A+B-I(I表示全集)

　　例：小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。问两人都最对的题目至少有几题?

　　②(A∩B∩C) =A+B+C-2I

　　例：小明、小刚和小红三人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题，小红做对了78题。问三人都最对的题目至少有几题?

　　③(A∩B∩C∩D) =A+B+C+D-3I

　　依此类推……

　　相信考生们通过以上讲解基本上能够全面把握容斥问题，无论是文科考生还是理工科考生，都可以顺利解答出来。

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