2020广东公务员考试行测利用“均值不等式”求极值

　　在行测数量关系中常见的极值问题里，有一类是一元二次函数求最值，相信大家都是能够根据题意列出式子，难点就在于解这个式子，常规的就是采用高中所学的求根公式来进行解答，这个过程就会显得慢而且计算量偏大，所以今天考试吧公务员考试网就给大家介绍运用均值不等式来进行求解。

　　一、 什么是极值问题

　　极值问题顾名思义，就是求极大值和极小值的问题，就是当题干或者问法中出现最大或最小，最多或最少，至多或至少等字眼时，那就是极值问题。

　　二、 均值不等式

　　1. 什么是均值不等式　　

　　2. 均值不等式的应用　　

　　三、 经典例题

　　【例题1】 某汽车坐垫加工厂生产一种汽车座垫，每套成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车座垫，并提出：如果每套座垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是(　　)。

　　A.144 B.136 C.128 D.142

　　【解析】A。根据题目所求为获得最大利润需售出的套数，可知此题属于极值问题，根据题意，可设每套坐垫减价2x元，那么就会多订购6x套，利润为y，得：

　　y =(200-2x-144)x(120+6x)，化简得：y =(56-2x)x(120+6x)，要求y最大时的x，可以把(56-2x)看成一个整体a，(120+6x)看成一个整体b，就相当于求ab的最大值，根据均值不等式推论可知，当两个数的和一定，这两个数的积最大，所以去找到(56-2x)与(120+6x)的和一定即可，因为x的系数不同，所以要将x的系数化为相同两者之间的和才一定，所以可将(56-2x)提一个2，(120+6x)提一个6出来，让x的系数都为1，所以y =(56-2x)x(120+6x)=2 x(28-x)x 6 x(20+x)，既原式变为y=12(28-x)(20+x),根据均值不等式和一定积最大，当且仅当(28-x)=(20+x)取等号，所以28-x=20+x得出x=4，既当坐垫降价8元时，能获得最大利润，所求获得最大利润售出套数为120+6x4=144，选A。

　　【例题2】某报刊以每本2元价格发行,可发行10万份,若该报刊单价提高0.2元,发行量减少5000份,则该报刊可能的最大销售收入为多少万元?

　　A.24 B.23.5 C.23 D.22.5

　　【解析】D。题目求报刊的最大销售收入属于极值问题，设报刊单价提高了0.2x，那么发行量为10000-5000x，销售收入为y，根据题意得：y=(2+0.2x)(10000-5000x)，化简原式得y=0.2x(10+x)x5000x(20-x)=1000x(10+x)(20-x)，根据均值不等式，当且仅当10+x=20-x时取等号，所以x=5，带入式子的y=1000x15x15=225000元=22.5万元，选D。

　　【例题3】某汽车租赁公司有200辆同型号的汽车，每辆车的日租金为100元时可全部租出;当每辆车的日租金增加5元时，未租出的汽车就会多4辆，租出的车每天需要维护费20元。每辆车的日租金为多少时，租赁公司的日收益最大?

　　A.155元 B.165元 C.175元 D.185元

　　【解析】D。题目所求为日租金为多少是，日收益最大，属于极值问题。设日租金增加5x元，那么未租出的汽车多4x辆，日收益为y，根据题意可得：

　　y=(100+5x)(200-4x)-20(200-4x)=(80+5x)(200-4x)，化简得y=20(16+x)(50-x)，根据均值不等式，当且仅当16+x=50-x时，取等号，所以x=17，既当x=17时，日收益最大，也就是当日租金为100+5x17=185时，日收益最大，选D。

　　考试吧公务员考试网提醒大家，利用均值不等式解极值问题时，首先要判断是否属于极值问题，然后根据题目列式，观察式子是否一元二次函数，若是最后采用均值不等式进行求解x或者进一步求解y，常用到均值不等式的和一定、积最大来进行求解。

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