二、资金的时间价值

　　(一)资金时间价值的含义

　　资金时间价值，是指一定量资金在不同时点上的价值量差额。

　　(二)终值与现值的计算

　　终值又称将来值，是现在一定量的资金折算到未来某一时点所对应的金额，通常记作F。

　　现值是指未来某一时点上的一定量资金折算到现在所对应的金额，通常记作P。

　　1.单利的终值和现值

　　(1)终值F=P×(1+n·i)

　　(2)现值P=F/(1+n·i)

　　2.复利的终值和现值(已知P，求F;已知F，求P)

　　(1)终值F=P×(1+i)n=P×(F/P，i，n)

　　(2)现值P=F/(1+i)n=F×(P/F，i，n)

　　【例题9·计算题】某人拟购房，开发商提出两个方案：方案一是现在一次性支付80万元;方案二是5年后支付100万元。若目前的银行贷款利率是7%(复利计息)，应如何付款?

　　(F/P，7%，5)=1.4026，(P/F，7%，5)=0.7130

　　【答案】比较终值：方案一：F=80×(F/P，7%，5)=112.208(万元)>100万元

　　比较现值：方案二：P=100×(P/F，7%，5)=71.3(万元)<80万元

　　从上面的计算可以看出，无论比较终值还是比较现值，第二个付款方案都比第一个付款方案好。

　　3.年金终值和年金现值的计算【★2011年单选题、2010年单选题】

　　年金包括普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等形式。

　　普通年金(后付年金)和即付年金(先付年金)是年金的基本形式，都是从第一期开始发生等额收付，区别是前者等额收付发生在期末，后者等额收付发生在期初。递延年金和永续年金是派生出来的年金。递延年金等额收付从第二期或第二期以后才发生(期末发生)，而永续年金的等额收付期有无穷多个。

　　【提示】

　　(1)年金中收付的间隔时间不一定是1年，可以是半年、1个月等。

　　(2)年金中收付的起始时间可以是任何时点，不一定是年初或年末。

　　【例题10·判断题】每半年付息一次的债券利息不是年金的形式。(　　)

　　【答案】×

　　【解析】在年金中，系列等额收付的间隔期间只需要满足“相等”的条件即可，间隔期间完全可以不是一年。

　　【例题11·单选题】2011年1月1日，A公司租用一层写字楼作为办公场所，租赁期限为3年，每年1月1日支付租金20万元，共支付3年。该租金有年金的特点，属于(　　)。

　　A.普通年金

　　B.即付年金

　　C.递延年金

　　D.永续年金

　　【答案】B

　　【解析】年初等额支付，属于即付年金。

　　(1)普通年金终值(已知期末等额收付的年金A，求年金终值F)

　　普通年金终值是指普通年金在最后一次收付时的本利和，它是每期期末等额收付款项A的复利终值之和。

 

　　【例题12·单选题】企业有一笔5年后到期的贷款，每年年末归还借款3000元，假设贷款年利率为2%，则企业该笔贷款的到期值为(　　)元。已知(F/A，2%，5)=5.2040，(P/A，2%，5)=4.7135

　　A.15612

　　B.14140.5

　　C.15660

　　D.18372

　　【答案】A

　　【解析】贷款到期值=3000×(F/A，2%，5)=15612(元)。

　　(2)偿债基金(已知普通年金终值F，求年金A)偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔债务或积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。也就是为使年金终值达到既定金额的年金数额。在普通年金终值公式中解出的A就是偿债基金。

　　【例题13·单选题】某公司拟于5年后一次还清所欠债务100000元，假定银行利息率为10%，5年期、利率为10%的年金终值系数为6.1051，5年期、利率为10%的年金现值系数为3.7908，则应从现在起每年来等额存入银行的偿债基金为(　　)元。

　　A.16379.75

　　B.26379.66

　　C.379080

　　D.610510

　　【答案】A

　　【解析】本题属于已知普通年金终值求年金，故答案为：100000/6.1051=16379.75(元)

　　(3)普通年金现值(已知期末等额收付的年金A，求年金现值P)

　　普通年金现值等于每期期末等额收付款项A的复利现值之和。

 

　　【例题14·单选题】某人分期购买一套住房，每年年末支付40000元，分5次付清，假设年利率为2%，则该项分期付款相当于现在一次性支付(　　)元。(P/A，2%，5)=4.7135

　　A.200000

　　B.188540

　　C.232950

　　D.252650

　　【答案】B

　　【解析】本题相当于求每年年末付款40000元，共计支付5年的年金现值，即40000×(P/A，2%，5)=40000×4.7135=188540(元)。

　　(4)年资本回收额(已知普通年金现值P，求年金A)

　　年资本回收额是指在约定期限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的金额。

　　【提示】

　　①年资本回收额与普通年金现值互为逆运算。

　　②资本回收系数和普通年金现值系数互为倒数。

　　③套用普通年金的终值公式计算得出的数值是最后一期期末的数值，即最后一次收付时点的数值;套用普通年金的现值公式计算得出的数值是第一期期初的数值，即第一次收付所在期的期初数值。了解这一点非常重要，计算即付年金及递延年金的终值和现值将会用到这些重要的结论。

　　【例题15·单选题】某企业进行一项投资，目前支付的投资额是10000元，预计在未来6年内收回投资，在年利率是6%的情况下，为了使该项投资是合算的，那么企业每年至少应当收回(　　)元。(P/A，6%，6)=4.9173，(F/A，6%，6)=6.9753

　　A.1433.63

　　B.2033.64

　　C.2023.64

　　D.1443.63

　　【答案】B

　　【解析】每年的投资回收额=10000/(P/A，6%，6)=2033.64(元)。

　　(5)即付年金终值(已知每期期初等额收付的年金A，求F)

　　即付年金的终值是指把即付年金每个等额A都换算成第n期期末的数值，再求和。求即付年金的终值有两种方法：

　　方法一：先将其看成普通年金。套用普通年金终值的计算公式，计算出在最后一个A位置上即第(n-1)期期末的数值，再将其往后调整一年，得出要求的第n期期末的终值。即：F=A×(F/A，i，n)×(1+i)=普通年金终值×(1+i)

　　方法二：先把即付年金转换成普通年金。转换的方法是，求终值时，假设最后一期期末有一个等额的收付，这样就转换为普通年金的终值问题，先计算期数为(n+1)期的普通年金的终值，再把多算的终值位置上的这个等额的收付A减掉，就得出即付年金终值。即付年金的终值系数和普通年金终值系数相比，期数加1，而系数减1。

　　即付年金终值=年金额×即付年金终值系数(在普通年金终值系数基础上期数加1，系数减1)F=A×[(F/A，i，n+1)-1]

　　(6)即付年金现值(已知每期期初等额收付的年金A，求P)

　　求即付年金的现值也有两种方法：

　　方法一：先将其看成普通年金。套用普通年金现值的计算公式，计算出第一个A前一期位置上，即第0期前一期的数值，再将其往后调整一期，得出要求的0时点(第1期期初)的数值。即：P=AX(P/A，i，n)×(1+i)=普通年金现值×(1+i)

　　方法二：先把即付年金转换成普通年金，转换的方法是，求现值时，假设0时点(第1期期初)没有等额的收付，这样就转化为普通年金的现值问题，先计算期数为(n-1)期的普通年金的现值，再把原来未算的第1期期初位置上的这个等额的收付A加上，就得出即付年金现值，即付年金的现值系数和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1。

　　即付年金现值=年金额×即付年金现值系数(在普通年金现值系数基础上期数减1，系数加1)P=A×[(P/A，i，n-1)+1]

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