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　　1 . 在一个关系R中，若每个数据项都是不可再分割的，那么R一定属于__________ 。 (问答题) 参考答案：

　　第一范式(1NF)

　　2 . 理解并给出下列术语的定义：函数依赖、部分函数依赖、完全函数依赖、传递依赖、候选码、主码、 外码、全码(All-key)、1NF、2NF、3NF、BCNF、多值依赖、4NF。 (填空题)

　　参考答案：

　　函数依赖：设R (U)是一个关系模式，U是R的属性集合，X和Y是U的子集。对于R (U)的任意一个可能的关系r，如果r中不存在两个元组，它们在X上的属性值相同， 而在Y上的属性值不同， 则称“X函数确定Y"或“Y函数依赖于X"，记作X→Y。 *解析： 1)函数依赖是最基本的一种数据依赖，也是最重要的一种数据依赖。 2)函数依赖是属性之间的一种联系，体现在属性值是否相等。由上面的定义可以知道，如果X→Y，则r中任意两个元组，若它们在X上的属性值相同，那么在Y上的属性值一定也相同。 3)我们要从属性间实际存在的语义来确定他们之间的函数依赖，即函数依赖反映了(描述了)现实世界的一种语义。 4)函数依赖不是指关系模式R的在某个时刻的关系(值)满足的约束条件，而是指R任何时刻的一切关系均要满足的约束条件。答：完全函数依赖、部分函数依赖：在R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X，都有X′→Y，则称Y对X完全函数依赖，记作： 若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y对X部分函数依赖，记作： 传递依赖：在R(U)中，如果X →Y，(Y ? X)，Y →X，Y→Z，则称Z对X传递函数依赖。候选码、主码： 设K为R中的属性或属性组合，若K → U则K为R的候选码(Candidate key)。若候选码多于一个，则选定其中的一个为主码(Primary key)。 *解析： 1) 这里我们用函数依赖来严格定义码的概念。在第二章中我们只是描述性地定义码(可以复习2.2.1)：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码(Candidate key)。 2)因为码有了严格定义，同学在学习了《概论》5.3数据依赖的公理系统后就可以从R的函数依赖集F出发，用算法来求候选码。答：外码：关系模式R中属性或属性组X并非R的码，但X是另一个关系模式的码，则称X是R的外部码(Foreign key)也称外码。全码：整个属性组是码，称为全码(All-key)。答： 1NF：如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。 *解析：第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。答： 2NF：若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R∈2NF。 3NF：关系模式R 中若不存在这样的码X，属性组Y及非主属性Z(Z ? Y)使得X→Y，(Y → X)Y→Z，成立，则称R ? 3NF。 BCNF：关系模式R ?1NF。若X→Y且Y ? X时X必含有码，则R ? BCNF。 *解析：同学们要真正理解这些范式的内涵。各种范式之间的联系：5NF? 4NF? BCNF? 3NF? 2NF? lNF(《概论》上图5.2)。能够理解为什么有这种包含关系。答：多值依赖：设R(U)是属性集U上的一个关系模式。X，Y，Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖X→→Y成立，当且仅当对R(U)的任一关系r，给定的一对(x，z)值，有一组Y的值，这组值仅仅决定于x值而与z值无关。 4NF：关系模式R ? lNF，如果对于R的每个非平凡多值依赖X→→Y(Y ? X)，X都含有码，则称R ? 4NF。 *解析：对于多值依赖的定义有多种。《概论》上定义 5.9后面又给出了一种等价的定义。习题中的第4题是另一种等价的定义。同学们可以对比不同的定义来理解多值依赖。选择自己容易理解的一种定义来掌握多值依赖概念。

　　3 .试由Armostrong公理系统推导出下面三条推理规则： (1) 合并规则：若X→Z，X→Y，则有X→YZ (2) 伪传递规则：由X→Y，WY→Z有XW→Z (3) 分解规则：X→Y，Z ?Y，有X→Z (填空题)

　　参考答案：

　　(1) 已知X→Z，由增广律知XY→YZ，又因为X→Y，可得XX→XY→YZ，最后根据传递律得X→YZ。(2) 已知X→Y，据增广律得XW→WY，因为WY→Z，所以XW→WY→Z，通过传递律可知XW→Z。(3) 已知Z ?Y，根据自反律知Y→Z，又因为X→Y，所以由传递律可得X→Z。

　　4 . 若关系为1NF，且它的每一非主属性都__________ 候选码，则该关系为2NF。 (问答题)

　　参考答案：

　　完全函数依赖于

　　5 .关于多值依赖的另一种定义是：给定一个关系模式R(X，Y，Z)，其中X，Y，Z可以是属性或属性组合。设x∈X，y∈Y，z∈Z，xz在R中的像集为： Yx z = {r.Y | r.X=x ∧ r.Z = z ∧ r?R} 定义 R(X，Y，Z)当且仅当Yxz =Yxz′对于每一组(x，z，z′)都成立，则Y对X多值依赖，记作X→→Y。这里，允许Z为空集，在Z为空集时，称为平凡的多值依赖。请证明这里的定义和《概论》5.2.7节中定义5.9是等价的。 (填空题)

　　参考答案：

　　设Yxz=Yxz’对于每一组(x，z，z′)都成立，现证其能推出定义5.9的条件：设s、t是关系r中的两个元组，s[X]= t[X]，由新定义的条件知对于每一个z值，都对应相同的一组y值。这样一来，对相同的x值，交换y值后所得的元组仍然属于关系r，即定义5.9的条件成立;如果定义5.9的条件成立，则对相同的x值，交换y值后所得的元组仍然属于关系r，由于任意性及其对称性，可知每个z值对应相同的一组y值，所以Yxz=Yxz’对于每一组(x，z，z′)都成立。综上可知，新定义和定义5.9的条件是等价的，所以新定义和定义5.9是等价的。

　　6 . 如果X→Y和X→Z成立，那么X→YZ也成立，这个推理规则称为___________ 。 (问答题)

　　参考答案：

　　合并规则

　　7 . 如果关系模式R是第二范式，且每个非主属性都不传递依赖于R的候选码，则称R为________ 关系模式。 (问答题)

　　参考答案：

　　3NF

　　8 .试举出三个多值依赖的实例。 (填空题)

　　参考答案：

　　(1) 关系模式MSC(M，S，C)中，M表示专业，S表示学生，C表示该专业的必修课。假设每个专业有多个学生，有一组必修课。设同专业内所有学生的选修的必修课相同，实例关系如下。按照语义对于M的每一个值M i，S有一个完整的集合与之对应而不问C取何值，所以M→→S。由于C与S的完全对称性，必然有M→→C成立。(2) 关系模式ISA(I，S，A)中，I表示学生兴趣小组，S表示学生，A表示某兴趣小组的活动项目。假设每个兴趣小组有多个学生，有若干活动项目。每个学生必须参加所 在兴趣小组的所有活动项目，每个活动项目要求该兴趣小组的所有学生参加。按照语义有I→→S，I→→A成立。 (3) 关系模式RDP(R，D，P)中，R表示医院的病房，D表示责任医务人员，P表示病人。假设每个病房住有多个病人，有多个责任医务人员负责医治和护理该病房的所有病人。按照语义有R→→D，R→→P成立。

　　9 . 在函数依赖中，平凡函数依赖是可以根据Armstrong推理规则中的__________ 律推出的。 (问答题)

　　参考答案：

　　自反

　　10 .试证明《概论》上给出的关于FD和MVD公理系统的A4，A6和A8。 (填空题)

　　参考答案：

　　A4：若X→→Y，V?W?U，则XW→→YV 设Z=U-X-Y 已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[Z]=s[Z]，q[Y]=s[Y]，q[Z]=t[Z]。 设t[XW]=s[XW]，我们以上构造的元组p和q，是某部分属性在s和t上翻转而成，所以p[W]=q[W]，可知p[XW]=q[XW]，同理p[YV]=t[YV](由V?W知t[V]=s[V])，q[YV]=s[YV]，p[U-YV-XW]=s[U-YV-XW](因为U-YV-XW?Z)，q[U-YV-XW]=t[U-YV-XW]。所以XW→→YV。 A6：若X→→Y，Y→→Z则X→→Z-Y 由Y→→Z容易证得Y→→Z-Y。设R1=U-X-Y，R2=U-Y-Z，R3=U-X-Z+Y。已知X→→Y，设r是R上的任一关系，s、t∈r，且t[X]=s[X]，则存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。对元组t、p，已知t[Y]=p[Y]，t[X]=p[X]，由Y→→Z-Y知：存在元组m∈r，使m[Z-Y]=p[Z-Y]，m[R2]=t[R2]。因为(Z-Y)?R1，又p[R1]=s[R1]，所以m[Z-Y]=s[Z-Y]。因为元组p和s在除属性Y之外的属性上值相等，所以m[R2]=t[R2]，另外元组m是由元组t和p交换某些属性上的值而产生的，而t和p在属性X上值相等，显然m[X]=t[X]，所以m[U-(Z-Y)]=t[U-(Z-Y)]，即m[R3]=t[R3]。对元组s、q，同理可知s[Y]=q[Y]，存在元组n，使n[Z-Y]=t[Z-Y]，即n[R3]=s[R3]。综上所述，对t、s∈r，t[X]=s[X]，存在元组m、n∈r，使m[X]=n[X]=t[X]，而m[Z-Y]=s[Z-Y]，m[R3]=t[R3]，n[Z-Y]=t[Z-Y]，n[R3]=s[R3]。 A8：若X→→Y，W→Z，W∩Y=Φ，Z?Y，则X→Z。设r是R上的任一关系，对任意s、t∈r，若t[X]=s[X]，设R1=U-X-Y，则根据X→→Y知：存在元组p、q∈r，使p[X]=q[X]=t[X]，而p[Y]=t[Y]，p[R1]=s[R1]，q[Y]=s[Y]，q[R1]=t[R1]。因为W∩Y=Φ，所以s[W]=p[W]，又W→Z，所以s[Z]=p[Z];因为Z?Y，且p[Y]=t[Y]，所以p[Z]=t[Z];所以可得t[Z]=s[Z]，即X→Z。

　　11 . 关系模式规范化需要考虑数据间的依赖关系，人们已经提出了多种类型的数据依赖，其中最重要的是_____________和___________。 (问答题)

　　参考答案：

　　函数依赖 多值依赖

　　12 .设关系模式为R(U，F)，X，Y为属性集，X，Y?U。证明: (1)X?XF+ (2)(XF+)F+=XF+ (3)若X?Y则XF+?YF+ (4)UF+=U (填空题)

　　参考答案：

　　(1)因为X→X 所以X?XF+ (根据XF+的定义)(2) *解析 1 要证明(XF+)F+=XF+ 只要证明 XF+ ?(XF+)F+ 并且(XF+)F+ ? XF+ 而XF+ ?(XF+)F+ 是显然的，因此只要证明(XF+)F+ ? XF+ 2 这里的证明要用集合论的基本知识，同学们应该复习一下有关集合论中的有关概念和证明方法。证明：下面求证(XF+)F+?XF+ 任意A∈(XF+)F+，(由题意知)存在B∈XF+，使B→A能由F根据Armstrong公理导出，而从B∈XF+ 可知X→B能由F根据Armstrong公理导出，根据公理中的传递律可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，所以A∈XF+，因此(XF+)F+ ? XF+。所以(XF+)F+=XF+。 (3)对任意A∈XF+ ，可知X→A能由F根据Armstrong公理导出，因为X?Y，由自反律可以得Y→X，由传递律得Y→A，所以A∈YF+ 。 XF+?YF+ 得证。 (4) *解析 要证明UF+=U 只要证明 U? UF+ 并且 UF+ ?U U? UF+ 是显然的;下面证明UF+? U，即证U由F据Armstrong公理推出的集合仍属于U： 自反律：Y ? U，U→Y为F所蕴含。显然U由F据Armstrong公理的自反律推出的Y仍属于U; 增广律：U→Y为F所蕴含，且Z?U，则U Z→YZ为F所蕴含，YZ?U。 传递律：U→Y 和Y→Z都为F所蕴含，则U→Z为F所蕴含。Z?U。

　　13 . 设关系R(U)，X，Y∈U，X→Y是R的一个函数依赖，如果存在X′∈X，使X′→Y成立，则称函数依赖X→Y是___________ 函数依赖。 (问答题)

　　参考答案：

　　部分

　　14 .设关系模式为R(U，F)，若XF+=X，则称X相对于F是饱和的。 定义饱和集?F={X | X=XF+}， 试证明?F = {XF+ | X?U }。 (填空题)

　　参考答案：

　　证：1)证 ?F ? {XF+|X?U} 对任意A∈?F ，由已知条件得A=AF+ ，因为A?U，A=AF+ 所以A∈{XF+|X?U}。 2)证 {XF+| X?U} ? ?F 对任意A∈{AF+|A?U}，因为(AF+)F+ = AF+(见习题7)，令B=AF+，有BF+ =B 所以 B∈?F 即AF+∈?F ，A∈?F 得证。

　　15 . 在关系模式R(A，B，C，D)中，存在函数依赖关系{A→B，A→C，A→D，(B，C)→A}，则候选码是___________，关系模式R(A，B，C，D)属于____________ 。 (问答题)

　　参考答案：

　　A，(B，C) 2NF

　　16 . 在关系模式R(D，E，G)中，存在函数依赖关系{E→D，(D，G)→E}，则候选码是__________，关系模式R(D，E，G)属于____________。 (问答题)

　　参考答案：

　　(E，G)，(D，G) 3NF

　　17 . 在关系模式R(A，C，D)中，存在函数依赖关系{ A→C，A→D }，则候选码是___________ ，关系模式R(A，C，D)最高可以达到_____________ 。 (问答题)

　　参考答案：

　　A BCNF

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