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2017基金从业《证券投资基金》复习要点(15)

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  随机变量与描述性统计量

  (一)随机变量

  1.定义

  我们将一个能取得多个可能值的数值变量x称为随机变量。

  如果一个随机变量X最多只能取可数的不同值,则为离散型随机变量;如果X的取值无法一一列出,可以遍取某个区间的任意数值,则为连续型随机变量。

  2.随机变量的分布

  (1)如果X是离散型的,X最多可能取n个值x0,x1,…,xn,并且记pi=P{X=xi}是X取xi的概率,所有概率的总和。

  (2)如果X是一个连续型随机变量,由于无法列出X取每个特定值的概率,我们改用概率密度函数来刻画X的分布性质。

  (二)随机变量的数字特征与描述性统计量

  常用的一些数字特征和它们的描述性统计量有下面几种:

  1.期望(均值)

  随机变量X的期望(或称均值,记做E(X))衡量了X取值的平均水平;它是对X所有可能取值按照其发生概率大小加权后得到的平均值。

  在X的分布未知时,用抽取样本X1,…,Xn的算术平均数(样本均值)。

  【例题·计算题】某投资者将其资金分别投向A、B、C三只股票,占总资金的比重分别为40%、40%、20%;股票A、B、C的期望收益率分别为Ra=14%、Rb=20%、Rc=8%。该股票组合的收益率是对少?

  【答案与解析】则该股票组合的收益率Rp=0.4×14%+0.4×20%+0.2×8%=15.2%。

  2.方差与标准差

  对于投资收益率r,用方差(δ2)或标准差(δ)来衡量它偏离期望值的程度。其中方差=δ2=E[(r-Er)2]的数值越大,收益率r偏离期望收益率Er的程度越大,数值越小偏离就越小。方差和标准差除了应用于分析投资收益率,还可以用来研究价格指数、股价指数等的波动情况。

  3.分位数

  分位数通常被用来研究随机变量X以特定概率(或者一组数据以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某个值的情况。一般来说,设0≤α≤1,随机变量X的上α分位数是指满足概率值P{X≥xα}=α的数xα,下α分位数是指满足概率值P{X≤x*α}=α的数x*α。

  4.中位数

  中位数是用来衡量数据取值的中等水平或一般水平的数值。对于随机变量x来说,它的中位数就是上50%分位数x50%,这意味着Ⅳ的取值大于其中位数和小于其中位数的概率各为50%。对于一组数据来说,中位数就是大小处于正中间位置的那个数值。

  【例题·单选题】通常被用来研究随机变量X以特定概率取得大于或等于某个值的情况的统计量是( )。

  A.分位数

  B.方差

  C.标准差

  D.中位数

  【答案】A

  【解析】分位数通常被用来研究随机变量X以特定概率(或者一组数据以特等比例)取得大于或等于(或小于等于)某个值的情况。

  二、正态分布

  正态分布是最重要的一类连续型随机变量分布,当一个随机变量的取值受到大量不同因素作用的共同影响,并且单个因素的影响都微不足道的时候,这个随机变量就服从或近似服从正态分布。

  正态分布密度函数的显著特点是中间高两边低,由中间(X=p)向两边递减,并且分布左右对称,是一条光滑的“钟形曲线”。

  正态分布距离均值越近的地方数值越集中,而在离均值较远的地方数值则很稀疏;这意味着正态分布出现极端值的概率很低,而出现均值附近的数值的概率非常大。同时图像越“瘦”,正态分布集中在均值附近的程度也越大。

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