中国科学院研究生院硕士研究生入学考试

　　高等数学(甲)考试大纲

　　一、 考 试 性 质

　　中国科学院研究生院硕士研究生入学高等数学(甲)考试是为招收理学非数学专业硕士研究生而设置的选拔考试。它的主要目的是测试考生的数学素质，包括对高等数学各项内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。考试对象为参加全国硕士研究生入学考试、并报考理论物理、原子与分子物理、粒子物理与原子核物理、等离子体物理、凝聚态物理、天体物理、天体测量与天体力学、空间物理学、光学、物理电子学、微电子与固体电子学、电磁场与微波技术、物理海洋学、海洋地质、气候学等专业的考生。

　　二、 考试的基本要求

　　要求考生系统地理解高等数学的基本概念和基本理论，掌握高等数学的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

　　三、 考试方法和考试时间

　　高等数学(甲)考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

　　四、考试内容和考试要求

　　(一)函数、极限、连续

　　考试内容

　　函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形

　　数列极限与函数极限的概念 无穷小和无穷大的概念及其关系 无穷小的性质及无穷小的比较 极限的四则运算 极限存在的单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：

　　函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 函数的一致连续性概念

　　考试要求

　　1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

　　2. 理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。掌握判断函数这些性质的方法。

　　3. 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。会求给定函数的复合函数和反函数。

　　4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。

　　5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。

　　6. 掌握极限的性质及四则运算法则，会运用它们进行一些基本的判断和计算。

　　7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限。掌握利用两个重要极限求极限的方法。

　　8. 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

　　9. 理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型。

　　10. 掌握连续函数的运算性质和初等函数的连续性，熟悉闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并会应用这些性质。

　　11.理解函数一致连续性的概念。

　　(二)一元函数微分学

　　考试内容

　　导数的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 基本初等函数的导数 导数的四则运算 复合函数、反函数、隐函数的导数的求法 参数方程所确定的函数的求导方法 高阶导数的概念 高阶导数的求法 微分的概念和微分的几何意义 函数可微与可导的关系 微分的运算法则及函数微分的求法 一阶微分形式的不变性 微分在近似计算中的应用 微分中值定理 洛必达(L’Hospital)法则 泰勒(Taylor)公式 函数的极值 函数最大值和最小值 函数单调性 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 弧微分及曲率的计算

　　考试要求

　　1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，掌握函数的可导性与连续性之间的关系。

　　2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的求导公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

　　3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。

　　4. 会求分段函数的一阶、二阶导数。

　　5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数

　　6. 会求反函数的导数。

　　7. 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理。

　　8. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

　　9. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

　　10. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

　　11.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

　　(三)一元函数积分学

　　考试内容

　　原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 广义积分(无穷限积分、瑕积分) 定积分的应用