统计学的几个基本概念

　　1.总体：根据研究目的确定的同质的研究对象，其某项变量值的全体。

　　2.样本：从研究总体中随机抽取的一部分有代表性的个体(其某项变量值的全体)。

　　3.参数：是由总体中个体值计算出来的用于描述总体特征的指标。

　　4.统计量：是由样本中个体值计算出来的用于描述样本特征的指标。

　　5.抽样误差：由个体变异产生，由抽样引起的总体指标(参数)与样本指标(统计量)以及样本指标之间的差异。

　　6.变量：根据研究目的，对研究对象的某个或某些特征(研究指标或项目)实施观测，这些特征(指标或项目)称为变量。

　　7.概率：描述随机事件发生可能性大小的数值(P)，取值范围0≤P≤1，P=0为不可能事件，P=1为必然事件，P≤0.05为小概率事件。

　　8.统计学中的资料可以分为：

　　(1)定量资料：也叫计量资料，如身高(cm)、体重(kg)等，有单位。

　　(2)定性资料：也叫分类资料，包括：①无序分类资料：a.二项分类资料(如性别：只有男、女两类，互不相容);b.多项分类资料(如ABO血型：A、B、O、AB四种互不相容)。

　　②有序分类资料：也叫等级资料，各类之间有程度的差别，“半定量”，如血清学检查结果：——、±、+、++四级。

　　【进阶攻略】掌握这几个统计学的概念，能够判断所给资料所属类型。

　　【易错易混辨析】统计工作中统计设计是最关键的一步，统计推断中包括参数估计和假设检验两部分。

　　练习题：

　　一、A1型选择题

　　1.下列关于概率的说法，错误的是

　　A.通常用P表示

　　B.用于描述随机事件发生的可能性大小

　　C.某事件发生的频率即概率

　　D.在实际工作中，概率常难以直接获得

　　E.某事件发生的概率P≤0.05时，称为小概率事件

　　2.用于推断总体特征的样本应该是

　　A.从总体中随机抽取的一部分

　　B.从总体中随便抽取的一部分

　　C.总体中有价值的一部分

　　D.总体中便于测量的一部分

　　E.研究者认为能代表总体特征的部分

　　3.计量资料的正确定义是指

　　A.每个观察单位的观测值都是绝对数的资料

　　B.每个观察单位的观测值都是相对数的资料

　　C.每个观察单位的观测值都是平均数的资料

　　D.每个观察单位都有1个数值，无论该观测值是绝对数、相对数还是平均数的资料

　　E.将每个观察单位按某种属性或类别分组，然后清点各组的观测单位数得到的资料

　　【参考答案及解析】

　　1.【答案及解析】C。在现实中，随机事件发生的概率往往是未知的，因此常用样本中事件的实际发生率来估计概率，这种实际发生率称为频率。由于抽样误差的存在，频率只是概率的估计值。当观测单位较少时，用频率估计概率是不可靠的。故选项C的说法错误。

　　2.【答案及解析】A。从总体中随机抽取部分观察单位作为样本去推断总体信息，这样的样本对总体才具有代表性。

　　3.【答案及解析】D。计量资料又称数值变量，其变量值是定量的，表现为数值大小，一般有度量衡单位。

　　频数与频数分布

　　1.频数表和频数分布图的主要用途

　　(1)揭示频数分布的特征：从频数表便于观察离群值和异常值，还可以看出频数分布的两个重要特征：集中趋势和离散趋势。

　　(2)揭示频数分布的类型，即对称分布和偏态分布。

　　(3)便于发现极大或极小的可疑值。

　　2.偏态分布，又称不对称型分布，指频数分布不对称，集中位置偏向一侧。若集中位置偏向数值较小的一侧，称为正偏态;若集中位置偏向数值较大的一侧，称为负偏态。

　　【进阶攻略】全距就是极差，是全部数据中最大值与最小值之差。

　　练习题：

　　一、A1型选择题

　　1.频数表通常不用于

　　A.描述资料的分布类型

　　B.反映资料的集中趋势

　　C.反映资料的离散趋势

　　D.便于发现异常值

　　E.总体均数的假设检验

　　2.频数分布的类型有

　　A.对称分布和偏峰分布

　　B.对称分布和正态分布

　　C.正态分布和正偏峰分布

　　D.正态分布和负偏峰分布

　　E.正偏峰分布和负偏峰分布

　　3.频数分布集中位置偏向数值较小的一侧称为

　　A.偏态分布

　　B.不对称型分布

　　C.对称分布

　　D.正偏态分布

　　E.负偏态分布

　　【参考答案及解析】

　　1.【答案及解析】E。频数表和频数分布图的主要用途是：①揭示频数分布的特征;②揭示频数分布的类型;③便于发现极大或极小的可疑值。

　　2.【答案及解析】A。对称分布是指频数大部分集中在中间位置，左右两侧频数较少，基本对称，正态分布属于此类型;偏峰分布包括正偏峰分布和负偏峰分布。

　　3.【答案及解析】D。偏态分布，指频数分布不对称，集中位置偏向一侧。若集中位置偏向数值较小的一侧，称为正偏态;若集中位置偏向数值较大的一侧，称为负偏态。

　　集中趋势指标

　　描述数值变量资料的集中趋势指标是平均数。统计中常用的平均数包括：算术平均数、几何平均数、中位数。

　　1.算术平均数简称均数，适用条件：对称分布，特别适用于正态或近似正态分布资料。

　　2.几何均数(G)适用条件：观察值呈倍数关系或对数正态分布，多用于描述抗体的平均滴度等。

　　3.中位数(M)：是一组观察值按由小到大的顺序排列后，位于中间位置上的那个数值。适用条件：①变量值中出现个别特小或特大的数值;②资料的分布呈明显的偏态;③变量值分布一端或两端无确定数值，只有小于或大于某个数值;④资料的分布不清。

　　【进阶攻略】对于正态分布资料，中位数等于均数;对于对数正态分布资料，中位数等于几何均数;对于正偏态分布资料，中位数小于均数;对于负偏态分布资料，中位数大于均数。

　　【易错易混辨析】中位数计算方法，当n为奇数时，M=X(n+1)/2，当n为偶数时，M=(Xn/2+Xn/2+1)/2。要特别注意的是，必须先将数据进行从小到大排序后再进行计算。

　　【练习题】

　　一、A1型选择题

　　1.一组观察值如果每个值都同时增加或减少一个不为0的常数，则

　　A.均数改变，几何均数不变

　　B.均数改变，中位数不变

　　C.均数，几何均数和中位数都改变

　　D.均数不变，几何均数和中位数改变

　　E.均数，几何均数和中位数都不变

　　2.表示儿童体重资料的平均水平最常用的指标是

　　A.算术均数

　　B.中位数

　　C.几何均数

　　D.变异系数

　　E.百分位数

　　二、A2型选择题

　　1.由变量的6个值6，9，12，14，15，20计算中位数可得

　　A.3

　　B.4

　　C.12

　　D.13

　　E.14

　　【参考答案及解析】

　　一、A1型选择题

　　1.【答案及解析】C。一组观察值如果每个值都同时增加或减少一个不为0的常数，则均数、几何均数、中位数都改变。

　　2.【答案及解析】A。算术平均数简称均数，均数适用于描述单峰对称分布资料，特别是正态分布或近似正态分布资料的集中位置。

　　二、A2型选择题

　　1.【答案及解析】D。中位数是将一组观察值按大小顺序排列后位次居中的数值。当n为奇数时，M=X(n+1)/2，当n为偶数时，M=(Xn/2+Xn/2+1)/2。本题共6个数值，为偶数，所以中位数M=(X6/2+X6/2+1)/2=(X3+X4)/2=(12+14)/2=13。

　　离散趋势指标

　　描述定量资料离散程度常用的指标：极差、四分位数间距、方差、标准差及变异系数。

　　1.极差(R)=最大值——最小值，极差越大变异程度越大。当两样本含量相差较大时，不宜用极差来比较其变异程度。

　　2.四分位数间距(Q)：Q=P75——P25。适用于任何分布类型的资料，主要和中位数一起描述偏态分布资料。

　　3.方差和标准差：是描述对称分布，特别是正态分布或近似正态分布资料变异程度的指标。

　　4.变异系数(CV)：标准差和均数之比，常用于比较度量衡单位不同或均数相差悬殊的两组(或多组)资料的变异度。

　　【进阶攻略】方差的单位是观察值原始单位的平方，标准差的单位与原始单位相同。

　　【易错易混辨析】把每个变量值都增加或减少一个常数，其均数也增加或减少一个常数，但标准差不变。

　　【练习题】

　　一、A1型选择题

　　1.下列关于方差和标准差的叙述，不正确的是

　　A.方差的单位与标准差的单位相同

　　B.方差的单位是标准差单位的平方

　　C.都用于描述定量资料频数分布的变异程度

　　D.二者值越大，说明资料的变异程度越大

　　E.均适用于对称分布，特别是正态分布或近似正态分布资料

　　2.变异系数是

　　A.描述计量资料平均水平的指标

　　B.描述计量资料绝对离散程度的指标

　　C.描述计量资料相对离散程度的指标

　　D.描述计数资料各部分构成的指标

　　E.描述计数资料平均水平的指标

　　3.关于标准差，错误的一项是

　　A.反映全部观察值的离散程度

　　B.最适用于对称分布资料

　　C.反映了均数代表性的好坏

　　D.一定大于或等于零

　　E.不会小于算术均数

　　【参考答案及解析】

　　一、A1型选择题

　　1.【答案及解析】A。方差和标准差均是描述对称分布，值越大，说明资料的变异程度越大，方差的单位是观察值单位的平方，在实际工作中使用不便，因此将方差开算术平方根得到标准差，故选项A不正确。

　　2.【答案及解析】C。变异系数简记为CV，为标准差与均数之比，是描述计量资料相对离散程度的指标。故C选项正确。

　　3.【答案及解析】E。标准差是描述对称分布资料变异程度的指标，离散度越大其数值越大，它的大小与算术平均数无关。

　　标准误及可信区间

　　1.标准误：样本均数的标准差叫样本均数的标准误，是标准差与样本含量平方根的比值，反映的是抽样误差的大小，标准误越大，抽样误差也就越大，样本均数的离散程度高，与总体均数的差异程度越大。标准误与标准差成正比，与样本含量的平方根成反比。

　　2.参数估计有两种方法：点值估计和区间估计。

　　(1)点值估计：直接用样本统计量去估计总体参数。总体均数的点值估计就是直接用样本均数去估计总体均数(就是把样本均数看作是总体均数)。缺点：没有考虑到抽样误差

　　(2)区间估计：结合样本统计量和标准误可以确定一个具有较大概率(可信度)的包含总体参数的区间，该区间称为总体参数的1——α可信区间(置信区间)。预先给定的概率称为可信度，用1——α表示，常用的可信度为95%或99%。如没有特别说明，一般取双侧95%。

　　3.可信区间的两个要素

　　准确度：反映在可信度上，可信度越大，准确度越高。

　　精密度：精密度反映在可信区间的宽度上，宽度越小，精密度越高。

　　【进阶攻略】可信区间是一个开区间，不包括下限和上限两个值。

　　【易错易混辨析】均数的可信区间与医学参考值范围的区别：

　　①含义不同：可信区间是按一定的概率100(1——α)%估计总体均数的可能范围;医学参考值范围是指是总体中大多数个体值的估计范围。

　　②用途不同：可信区间估计总体均数;医学参考值范围是判断观察对象的某项指标是否正常。

　　【练习题】

　　一、A1型选择题

　　1.同类定量资料下列指标，反映样本均数对总体均数代表性的是

　　A.四分位数间距

　　B.标准误

　　C.变异系数

　　D.百分位数

　　E.中位数

　　2.关于可信区间，正确的说法是

　　A.可信区间是总体中大多数个体值的估计范围

　　B.95%可信区间比99%可信区间更好

　　C.不管资料呈什么分布，总体均数的95%的可信区间计算公式是一致的

　　D.可信区间也可用于回答假设检验的问题

　　E.可信区间仅有双侧估计

　　3.总体率的99%可信区间是

　　A.99%的总体率分布的范围

　　B.99%的样本率分布的范围

　　C.99%的样本率可能所在范围

　　D.99%的总体率的可能所在范围

　　E.估计总体率在此范围的概率为99%

　　【参考答案及解析】

　　1.【答案及解析】B。均数的标准差即均数的标准误，可用来描述样本均数的抽样误差，均数的标准误越小，则说明均数的抽样误差越小。

　　2.【答案及解析】D。按一定的概率估计总体参数的可能范围，该范围称为可信区间，可以用来估计总体均数。在假设检验时常按95%置信度估计总体参数的可能范围。

　　3.【答案及解析】E。总体率的99%可信区间是估计总体率在此范围的概率为99%，即此范围有99%的把握包含总体率。所以答案选E。

　　t分布和假设检验

　　1.t分布特征

　　(1)单峰分布，以0为中心，左右对称;

　　(2)自由度越小，峰部越矮，而尾翘得越高;

　　(3)当自由度增大时，t分布逼近u分布(标准正态分布)，当自由度无穷大时，t分布就是标准正态分布;

　　(4)t分布是一簇曲线，自由度不同，曲线的形状不同。

　　2.假设检验步骤

　　(1)建立假设，确定检验水准：假设有两种，一是无效假设或称零假设H0;二是备择假设H1。

　　(2)计算检验统计量;

　　(3)确定P值：将P值与预先规定的检验水准相比，做出推断结论。当P≤α时，拒绝H0，接受H1，差异有统计学意义;当P>α时，不拒绝H0，差异无统计学意义。

　　【进阶攻略】检验假设针对总体，而不是样本。进行假设检验时，应同时写出H0和H1，H1为备择假设，它的内容反映了检验的单、双侧。

　　【练习题】

　　一、A1型选择题

　　1.下列关于t分布特征的叙述，错误的是

　　A.t分布为单峰分布

　　B.t分布曲线是一簇曲线

　　C.以0为中心，左右对称

　　D.自由度越大，t分布曲线的峰部越低，尾部越高

　　E.自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布

　　2.在对两个样本均数作假设检验时，若P>0.1，则统计推断为

　　A.两总体均数的差别有统计学意义

　　B.两样本均数的差别有统计学意义

　　C.有0.9的把握度认为两总体均数无差别

　　D.犯二类错误的概率为0.1

　　E.两总体均数的差别无显著性

　　3.比较两药疗效时，下列可作单侧检验的是

　　A.己知A药与B药均有效

　　B.不知A药好还是B药好

　　C.己知A药与B药差不多好

　　D.己知A药不会优于B药

　　E.不知A药与B药是否有效

　　【参考答案及解析】

　　1.【答案及解析】D。t分布的特征为：自由度越小，曲线的峰部越低，尾部越高;随着自由度的增大，t分布逐渐逼近标准正态分布;当自由度为无穷大时，t分布就是标准正态分布。故选项D叙述错误，本题选D。

　　2.【答案及解析】E。P>0.1，按α=0.1水准，不能拒绝H0，所以两总体均数的差别无显著性。

　　3.【答案及解析】D。已知A药不会优于B药，只有低于B药的一种可能，所以可作单侧检验。

　　单样本t检验

　　1.t检验的应用条件：①要求样本来自正态分布总体;②两样本均数比较时，还要求两样本所属总体的方差相等(即方差齐性)。

　　2.单样本t检验目的：是样本均数与总体均数的比较，推断未知总体与已知总体比较是否有差别。

　　【进阶攻略】掌握t检验的应用条件和计算公式，会用t界值表进行判断。

　　【练习题】

　　一、A1型选择题

　　1.关于t界值表错误的一项是

　　A.双侧t0.10，20=单侧t0.05，20

　　B.单侧t0.05，20<双侧t0.05，20

　　C.双侧t0.05，20<双侧t0.01，20

　　D.单侧t0.05，20>单侧t0.05，15

　　E.单侧t0.05，20<单侧t0.05，15

　　2.比较某地区15岁儿童平均体重是否高于一般，宜采用

　　A.u检验

　　B.t检验

　　C.T检验

　　D.χ2检验

　　E.以上都不是

　　3.在样本均数与总体均数差别的显著性检验中，结果为P<α而拒绝H0，接受H1，原因是

　　A.H0假设成立的可能性小于α

　　B.H1假设成立的可能性大小1——α

　　C.H0成立的可能性小于α且H1成立的可能性大于1——α

　　D.从H0成立的总体中抽样得到样本的可能性小于α

　　E.从H0不成立的另一总体中抽得此样本的可能性大于1——α

　　【参考答案及解析】

　　一、A1型选择题

　　1.【答案及解析】D。在同一自由度下，双侧概率为单侧概率的2倍时，所对应的t界值相等。

　　2.【答案及解析】B。本题是正态分布资料样本均数与总体均数的比较，所以应该用单样本t检验。

　　3.【答案及解析】D。从H0成立的总体中抽样得到样本的可能性小于α，即P<α，说明是小概率事件，所以拒绝H0。

 

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