2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(23)

　　(二)重要结论

　　1.个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数;

　　2.个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数;

　　3.个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数;

　　4.形如3n+2型的整数一定不是完全平方数;

　　5.形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数;

　　6.形如5n±2型的整数一定不是完全平方数;

　　7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数;

　　8.数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。

　　(三)范例

　　[例1]：一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。

　　解：设此自然数为x，依题意可得

　　(m,n为自然数)

　　(2)-(1)可得

　　∴n>m

　　(

　　但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。

　　[例2]：求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。

　　分析　设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证

　　是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。

　　证明　设这四个整数之积加上1为m，则

　　而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。

　　[例3]：求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。

　　分析　形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即

　　或

　　在两端同时减去1之后即可推出矛盾。

　　证明　若，则

　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

　　若，则

　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。

　　综上所述，不可能是完全平方数。

　　另证　由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

　　[例4]：试证数列49,4489,444889,的每一项都是完全平方数。

　　证明

　　=

　　=++1

　　=4+8+1

　　=4()(9+1)+8+1

　　=36()+12+1

　　=(6+1)

　　即为完全平方数。

　　[例5]：用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数?

　　解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600

　　3︱600　∴3︱A

　　此数有3的因子，故9︱A。但9︱600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。

　　[例6]：试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同(1999小学数学世界邀请赛试题)。

　　解：设此数为

　　此数为完全平方，则必须是11的倍数。因此11︱a + b，而a,b为0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8组可能。

　　直接验算，可知此数为7744=88。

　　[例7]：求满足下列条件的所有自然数：

　　(1)它是四位数。

　　(2)被22除余数为5。

　　(3)它是完全平方数。

　　解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。

　　11︱N - 4或11︱N + 4

　　或

　　k = 1

　　k = 2

　　k = 3

　　k = 4

　　k = 5

　　所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。

　　[例8]：甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)?

　　解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。

　　[例9]：矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。

　　解：设矩形的边长为x,y，则四位数

　　∵N是完全平方数，11为质数　∴x+y能被11整除。

　　又　,得x+y=11。

　　∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。

　　[例10]：求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。

　　解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。

　　[例11]：求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。

　　解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，于是，即。∵，∴。

　　另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得

　　故所求的自然数n = 27。

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