2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(25)

-绝对值与二次根式

　　1. 绝对值

　　例1 (1986年扬州初一竞赛题)设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0

　　解由已知条件可得

　　T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.

　　∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小;当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.

　　例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.

　　证 设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.

　　∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1).

　　∵ab≠0，∴|a|>0，|b|>0.

　　∴|b|-1=>0，∴|b|>1.

　　同理可证|a|>1.

　　∴a、b都不在-1与1之间.

　　例3 设a、b是实数，证明

　　|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

　　证明 当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.

　　当|a|-|b|>0时，由于

　　(|a|-|b|)2-|a+b|2

　　=(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab)

　　=-2(|ab|-ab)≤0，

　　∴|a|-|b|≤|a+b|.

　　同理可证|a+b|≤|a|+|b|.

　　2. 根式

　　在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：

　　(1) 配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.

　　例4 (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.

　　解

　　=4-=2+(2-),

　　故x=2,y=2-,

　　∴x+y+

　　=4-+2+=6.

　　例5 化简

　　解 原式=

　　=|x+3|+|x-1|-|x-2|.

　　令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：

　　当x<-3时

　　原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4;

　　当-3≤x<1时，

　　原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2;

　　当1≤x≤2时，

　　原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x;

　　当x>2时，

　　原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4.

　　说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.

　　例6 化简(a>>0).

　　解

　　原式=

　　=

　　=

　　∵a>>0.

　　∴a2>2b2，

　　∴原式=

　　例7 求证：

　　证明：∵

　　=

　　∴原式=4.

　　(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号

　　例8 已知求证:

　　(x+y+z)3=27xyz.

　　证明:∵

　　∴

　　两边立方

　　x+y+

　　即

　　再边再立方得(x+y+z)3=27xyz.

　　例9 已知

　　求证

　　证明 设则

　　即

　　同理可设则

　　∴A+B=

　　=

　　=

　　由 A+B=a，

　　得

　　∴

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