2011年中招考试：《初中数学》竞赛讲座(26)

-平面图形的面积

　　1. 关于面积的两点重要知识

　　(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方

　　例1(第2届美国数学邀请赛题)如图40-1，在△ABC的内部选取一点P，过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4，9和49.求△ABC的面积.

　　解 设T是△ABC的面积，T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积;c是边AB的长，c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、t2和t3的边长.那么，由四个三角形相似，得

　　(2)两边夹角的三角形面积，灵活运用△ABC的面积公式S=可以方便地解决一些较难的面积问题.

　　例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图40-2)，已知P由A至B，R由C至D分别需要两秒钟;Q由B至C，S由D至A分别需要1秒钟;问开始运动后，经过多少时间，四边形PQRS的面积最小?

　　解设P的速度是Q的速度是;R的速度是,S的速度是.在t(0

　　设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.

　　①

　　②

　　③

　　④

　　①+③得,

　　②+④得,

　　当t=′有极小值.

　　答:经过秒后,四边形PQRS面积最小.

　　下面是一个用不等式来证明相等问题的例子.

　　例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).PQRS是面积为A的四边形.O是在它内部的一点,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2

　　那么PQRS是正方形并且O是它的中心.

　　证明 如图40-3，按题设有 此处无图

　　p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rsinγ+spsinδ

　　≤pq+qr+rs+sp ①

　　依题设、必须且只须这里所有的不等式都取等号.由①取等号有

　　由②取等号有p=q=r=s

　　因此PQRS是正方形,O是它的中心.

　　2.等积变换与面积法

　　等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题.

　　例4(第17届苏联竞赛题)图40-4中阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影所示的四个三角形面积相等.求证:无阴影的三个四边形的面积也相等.

　　证明 如图:连ME、NC.

　　∵S△NME=S△CEM，

　　∴ME∥NC.

　　若设则由上式可得解以上三式的联立方程组可得

　　.

　　这样，则N为BE中点.

　　又

　　同理可证

　　例5(第9届全俄中学竞赛题)如图40-5在凸五边形ABCDE中，对角线CE分别交对角线BD、AD于F、G，BF：FD=5：4，AG：GD=1：1，CF：FG：GE=2：2：3，求△CFD和△ABE的面积比.

　　解 连AF.∵CF：FG：GE=2：2：3，

　　∴S△CFD：S△DFG：S△DEG=2：2：3.

　　S△CFD=S,则S△FDG=S，S△DGF=S.

　　又BF：FD=5：4，∴S△BEF:S△FDE=5：4.

　　∴S△BEF=(S△FDG+S△DEG)=S

　　又由BF：FD=5：4，∴S△ABF:S△AFD=5：4.

　　∴S△ABE=SABFE-S△BFE

　　=(S△ABF+S△AFG+S△AGE)-S△BFE

　　=5S-S=S

　　(∵AG:GD=1:1).

　　即S△CFD:S△ABE=8:15.

　　例6 六边形ABCDEF内接于⊙O,且AB=BC=CD=(如图40-6(a)),求此六边形的面积.

　　分析 如果连OA、OB、OC、OD、OE、OF，那么容易看出

　　S△AOB=S△BOC=S△COD，

　　S△DOE=S△EOF=S△FOA.

　　=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△DOE+S△EOF+S△FOA.

　　从加法满足交换律联想到图形可以改变位置而重新组合,于是把已知六边形改成等积的新的六边形A′B′C′D′E′F′,其中,⊙O与⊙O′为等圆,且A′F′=B′C′=D′E′=1,A′B′=C′D′=E′F′=把A′B′,C′D′,E′F′分别向两方延长得交点M、N、P(如图40-6(b)),容易证明∠B′A′F′=120°等,从而△MNP为等边三角形.

　　例7(1962年上海竞赛题)已知△ABC∽△A′B′C′如图40-7，AB=c,BC=a,CA=b,A′、B′、C′到BC、CA、AB的距离分别为l、m、n.求证：la+mb+nc=2S△ABC.

　　分析 欲证上述结论，只须证S△ABC+S△B′CA+S△C′AB=S△ABC.

　　我们试想,当△A′B′C收缩为一点时,上式显然成立,因此,如果我们能够做到在将△A′B′C′逐渐“收缩”为一点的过程中，保持左边三项的面积始终不变，那么问题便解决了.为了保持△A′BC面积不变，我们试用“等积”工具，设法使A′沿平行于BC的直线运动，同样B′、C′分别沿着平行于CA、AB的直线运动.而这三条分别平行于BC、CA、AB的直线如能共点，即反映△A′B′C′可收缩为一点.

　　证明 分别过B′，C′作直线B′D∥CA，C′D∥BA，直线C′D交B′D于D、交BC于E.

　　则∠C′DB′=∠BAC，又△ABC∽△A′B′C′，

　　∴△∠B′A′C′=∠BAC=∠C′D′B′.这说明C′、D′、A′、B′四点共圆，∴∠A′DC′=A′B′C′=∠ABC=∠DEC，∴A′D∥BC.

　　过D分别作DL⊥BC于L，DM⊥CA于M，DN⊥AB于N，连DA、DB、DC、则由DA′∥BC、DB′∥CA，DC′∥AB，得DL=l，DM=m，DN=n.

　　于是la+mb+nc=DL·BC+DM·AC+DN·AB=2(S△DBC+S△DCA+S△DAB)=2S△ABC.

　　有些看似与面积无关的几何问题，如能够巧妙地引入面积关系，便可迅速求解，这就是所谓的“面积法”.

　　例8(美国数学竞赛题)在一个给定的角O内，任决地给定一点P，过P作一直线交定角的两边于A、B两点(如图40-8)，问过P作怎样的直线才能使最大?

　　解设∠OPB=θ，△OPA、△OPB的面积分别为S1、S2，则

　　于是

　　因此

　　但，

　　当θ=90°时,sinθ取得最大值1,因此当过P点的直线与OP垂直时,达到最大值

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